Noetherscher Nulldimensionaler Ring/Produktdarstellung/Fakt/Beweis

Beweis

Die maximalen Ideale sind zugleich die minimalen Primideale. Daher besteht der Durchschnitt ${}{\mathfrak {a}}=\bigcap _{i}{\mathfrak {m}}_{i}$ aller maximaler Ideale nur aus nilpotenten Elementen. Da der Ring noethersch ist, gibt es dann auch ein ${}s$ mit ${}{\mathfrak {a}}^{s}=0$. Zu jedem maximalen Ideal ${}{\mathfrak {m}}_{i}$ betrachten wir die Lokalisierung ${}R\rightarrow R_{{\mathfrak {m}}_{i}}$. Wir behaupten, dass diese Lokalisierung isomorph zum Restklassenring

$R/{\mathfrak {a}}_{i}{\text{ mit }}{\mathfrak {a}}_{i}:={\mathfrak {m}}_{i}^{s}$

ist. Wegen ${}\prod _{i}{\mathfrak {m}}_{i}\subseteq \bigcap _{i}{\mathfrak {m}}_{i}$ ist ${}{\left(\prod _{i}{\mathfrak {m}}_{i}\right)}^{s}\subseteq {\left(\bigcap _{i}{\mathfrak {m}}_{i}\right)}^{s}$ und daher ist auch ${}{\mathfrak {a}}_{1}\cdots {\mathfrak {a}}_{n}=0$. Sei ${}i=1$. Zu jedem ${}j\neq 1$ gibt es ein $g_{j}\in {\mathfrak {m}}_{j}$ mit $g_{j}\notin {\mathfrak {m}}_{1}$. Daher gilt für jedes Element ${}f\in {\mathfrak {a}}_{1}$ die Beziehung

${}fg_{2}^{s}\cdots g_{n}^{s}=0\,.$

Wegen ${}g_{2}^{s}\cdots g_{n}^{s}\notin {\mathfrak {m}}_{1}$ bedeutet dies, dass ${}f$ unter der Lokalisierungsabbildung auf ${}0$ geht. Wir erhalten also einen Ringhomomorphismus

$R/{\mathfrak {a}}_{1}\longrightarrow R_{{\mathfrak {m}}_{1}}.$

Damit ist die Lokalisierung rechts auch eine Lokalisierung des Restklassenringes links. Die maximalen Ideale erzeugen paarweise das Einheitsideal. Dies gilt dann auch für beliebige Potenzen davon. Daraus folgt zunächst, dass das Ideal ${}{\mathfrak {a}}_{1}$ nur in ${}{\mathfrak {m}}_{1}$ enthalten ist. Daher ist der Restklassenring links selbst ein lokaler Ring. Also muss die Abbildung ein Isomorphismus sein.

Die gegebene Abbildung kann man also auch schreiben als

$R\longrightarrow \prod _{i=1}^{n}R/{\mathfrak {a}}_{i}.$

Hierbei erzeugen die ${}{\mathfrak {a}}_{i}$ paarweise das Einheitsideal, sodass nach einer Form des Chinesischen Restsatzes eine Isomorphie vorliegt.

Zur bewiesenen Aussage