Noetherscher Nulldimensionaler Ring/Produktdarstellung/Fakt/Beweis

Beweis

Die maximalen Ideale sind zugleich die minimalen Primideale. Daher besteht der Durchschnitt $𝔞 = ⋂_{i} 𝔪_{i}$ aller maximalen Ideale nur aus nilpotenten Elementen. Da der Ring noethersch ist, gibt es dann auch ein $s$ mit $𝔞^{s} = 0$ . Zu jedem maximalen Ideal $𝔪_{i}$ betrachten wir die Lokalisierung $R \to R_{𝔪_{i}}$ . Wir behaupten, dass diese Lokalisierung isomorph zum Restklassenring

R / 𝔞_{i} mit 𝔞_{i} := 𝔪_{i}^{s}

ist. Wegen $\prod_{i} 𝔪_{i} \subseteq ⋂_{i} 𝔪_{i}$ ist ${(\prod_{i} 𝔪_{i})}^{s} \subseteq {(⋂_{i} 𝔪_{i})}^{s}$ und daher ist auch $𝔞_{1} \dots 𝔞_{n} = 0$ . Es sei $i = 1$ . Zu jedem $j \neq 1$ gibt es ein $g_{j} \in 𝔪_{j}$ mit $g_{j} \notin 𝔪_{1}$ . Daher gilt für jedes Element $f \in 𝔞_{1}$ die Beziehung

f g_{2}^{s} \dots g_{n}^{s} = 0 .

Wegen $g_{2}^{s} \dots g_{n}^{s} \notin 𝔪_{1}$ bedeutet dies, dass $f$ unter der Lokalisierungsabbildung auf $0$ geht. Wir erhalten also einen Ringhomomorphismus

R / 𝔞_{1} ⟶ R_{𝔪_{1}} .

Damit ist die Lokalisierung rechts auch eine Lokalisierung des Restklassenringes links. Die maximalen Ideale erzeugen paarweise das Einheitsideal. Dies gilt dann auch für beliebige Potenzen davon. Daraus folgt zunächst, dass das Ideal $𝔞_{1}$ nur in $𝔪_{1}$ enthalten ist. Daher ist der Restklassenring links selbst ein lokaler nulldimensionaler Ring. Also muss die Abbildung ein Isomorphismus sein.

Die gegebene Abbildung kann man also auch schreiben als

R ⟶ \prod_{i = 1}^{n} R / 𝔞_{i} .

Hierbei erzeugen die $𝔞_{i}$ paarweise das Einheitsideal, sodass nach dem Chinesischen Restsatz eine Isomorphie vorliegt.

Zur bewiesenen Aussage