Noetherscher Ring/Kommutativ/Restklassenring/Noethersch/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es sei ${}{\mathfrak {a}}\subseteq R/{\mathfrak {b}}$ ein Ideal und sei ${}{\tilde {\mathfrak {a}}}\subseteq R$ das Urbildideal davon. Dieses ist endlich erzeugt nach Voraussetzung, also ${}{\tilde {\mathfrak {a}}}=(f_{1},\ldots ,f_{n})$. Die Restklassen dieser Erzeuger, also ${}{\bar {f}}_{1},\ldots ,{\bar {f}}_{n}$, bilden ein Idealerzeugendensystem von ${}{\mathfrak {a}}$: Für ein Element ${}{\bar {g}}\in {\mathfrak {a}}$ gilt ja ${}g=\sum _{i=1}^{n}r_{i}f_{i}$ in ${}R$ und damit

${}{\bar {g}}=\sum _{i=1}^{n}{\bar {r}}_{i}{\bar {f}}_{i}$ in ${}R/{\mathfrak {b}}$.

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