Noetherscher Ring/Kommutativ/Restklassenring/Noethersch/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es sei  ${}{\mathfrak {a}}\subseteq R/{\mathfrak {b}}$  ein Ideal und sei  ${}{\tilde {\mathfrak {a}}}\subseteq R$  das Urbildideal davon. Dieses ist endlich erzeugt nach Voraussetzung, also  ${}{\tilde {\mathfrak {a}}}=(f_{1},\ldots ,f_{n})$.  Die Restklassen dieser Erzeuger, also ${}{\bar {f}}_{1},\ldots ,{\bar {f}}_{n}$, bilden ein Idealerzeugendensystem von ${}{\mathfrak {a}}$: Für ein Element  ${}{\bar {g}}\in {\mathfrak {a}}$  gilt ja  ${}g=\sum _{i=1}^{n}r_{i}f_{i}$  in ${}R$ und damit  ${}{\bar {g}}=\sum _{i=1}^{n}{\bar {r}}_{i}{\bar {f}}_{i}$ 

in ${}R/{\mathfrak {b}}$.

Zur gelösten Aufgabe