Noetherscher Ring/Maximales Ideal/Kotangentialraum direkt und über lokalen Ring/Fakt

Es sei ${}R$ ein noetherscher kommutativer Ring und ${}{\mathfrak {n}}$ ein maximales Ideal. Es sei  ${}S=R_{\mathfrak {n}}$  die Lokalisierung an ${}{\mathfrak {n}}$ mit dem maximalen Ideal  ${}{\mathfrak {m}}={\mathfrak {n}}R_{\mathfrak {n}}$. 

Dann ist

${}{\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}\cong {\mathfrak {n}}/{\mathfrak {n}}^{2}\,.$

Insbesondere ist die Einbettungsdimension der Lokalisierung gleich ${}\operatorname {dim} _{R/{\mathfrak {n}}}\,({\mathfrak {n}}/{\mathfrak {n}}^{2})$.

Beweis 1, 2, Alternativen Beweis erstellen