Noetherscher Ring/Maximales Ideal/Kotangentialraum direkt und über lokalen Ring/Fakt

Es sei $R$ ein noetherscher kommutativer Ring und $𝔫$ ein maximales Ideal. Es sei  $S=R_{𝔫}$  die Lokalisierung an $𝔫$ mit dem maximalen Ideal  $𝔪=𝔫R_{𝔫}$. 

Dann ist

$𝔪/{𝔪}^2\cong 𝔫/{𝔫}^2.$

Insbesondere ist die Einbettungsdimension der Lokalisierung gleich ${\dim }_{R/𝔫}(𝔫/{𝔫}^2)$.

Beweis 1, 2, Alternativen Beweis erstellen