Noetherscher Ring/Maximales Ideal/Kotangentialraum direkt und über lokalen Ring/Fakt/Beweis

Beweis

Nach Aufgabe ist ${}R/{\mathfrak {n}}\cong R_{\mathfrak {n}}/{\mathfrak {m}}$, sodass der gleiche Restklassenkörper vorliegt. Der natürliche ${}R$-Modulhomomorphismus ${}{\mathfrak {n}}\rightarrow {\mathfrak {m}}$ induziert einen ${}K$-Vektorraumhomomorphismus

${\mathfrak {n}}/{\mathfrak {n}}^{2}\longrightarrow {\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2},$

der surjektiv ist, da ${}R$-Modulerzeuger von ${}{\mathfrak {n}}$ auf ${}R_{\mathfrak {n}}$-Erzeuger von ${}{\mathfrak {m}}$ abbilden, und diese modulo ${}{\mathfrak {m}}^{2}$ ein ${}K$-Vektorraum-Erzeugendensystem ergeben.

Zum Beweis der Injektivität sei ${}f\in {\mathfrak {n}}$ ein Element, das rechts auf ${}0$ abgebildet wird. D.h. es gilt ${}f\in {\mathfrak {m}}^{2}$ in der Lokalisierung ${}R_{\mathfrak {n}}$. Dies bedeutet, dass es Elemente ${}g_{1},\ldots ,g_{n}\in {\mathfrak {n}}$ und ${}h_{1},\ldots ,h_{n}\in {\mathfrak {n}}$ und Elemente ${}q_{i}={\frac {a_{i}}{s_{i}}}\in R_{\mathfrak {n}}$ (also mit ${}s_{i}\notin {\mathfrak {n}}$ und ${}a_{i}\in R$) mit

${}f={\frac {a_{1}}{s_{1}}}g_{1}h_{1}+\cdots +{\frac {a_{n}}{s_{n}}}g_{n}h_{n}\,$

gibt. Dies bedeutet zurückübersetzt nach ${}R$, dass es ein Element ${}s\notin {\mathfrak {n}}$ mit

${}sf=b_{1}g_{1}h_{1}+\cdots +b_{n}g_{n}h_{n}\,$

für gewisse ${}b_{i}\in R$ gibt. Da ${}s$ nicht zum maximalen Ideal ${}{\mathfrak {n}}$ gehört, gibt es ${}r\in R$ und ${}g\in {\mathfrak {n}}$ mit ${}g+rs=1$. Wir multiplizieren die obige Gleichung mit ${}r$ und erhalten

${}(1-g)f=r{\left(b_{1}g_{1}h_{1}+\cdots +b_{n}g_{n}h_{n}\right)}\,$

bzw.

${}f=r{\left(b_{1}g_{1}h_{1}+\cdots +b_{n}g_{n}h_{n}\right)}+gf\,.$

Dabei gehört die rechte Seite offensichtlich zu ${}{\mathfrak {n}}^{2}$, und damit definiert ${}f$ das Nullelement in ${}{\mathfrak {n}}/{\mathfrak {n}}^{2}$.

Zur bewiesenen Aussage