Noetherscher Ring/Maximales Ideal/Kotangentialraum direkt und über lokalen Ring/Fakt/Beweis

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Beweis

Nach Aufgabe ist , so dass der gleiche Restklassenkörper vorliegt. Der natürliche -Modulhomomorphismus induziert einen -Vektorraumhomomorphismus

der surjektiv ist, da -Modulerzeuger von auf -Erzeuger von abbilden, und diese modulo ein -Vektorraum-Erzeugendensystem ergeben.

Zum Beweis der Injektivität sei ein Element, das rechts auf abgebildet wird. D.h. es gilt in der Lokalisierung . Dies bedeutet, dass es Elemente und und Elemente (also mit und ) mit

gibt. Dies bedeutet zurückübersetzt nach , dass es ein Element mit

für gewisse gibt. Da nicht zum maximalen Ideal gehört, gibt es und mit . Wir multiplizieren die obige Gleichung mit und erhalten

bzw.

Dabei gehört die rechte Seite offensichtlich zu , und damit definiert das Nullelement in .