Beweis
Nach
Aufgabe
ist
,
so dass der gleiche
Restklassenkörper
vorliegt. Der natürliche
-Modulhomomorphismus
induziert einen
-Vektorraumhomomorphismus
-
der surjektiv ist, da
-Modulerzeuger
von
auf
-Erzeuger von
abbilden, und diese modulo
ein
-Vektorraum-Erzeugendensystem ergeben.
Zum Beweis der Injektivität sei
ein Element, das rechts auf
abgebildet wird. D.h. es gilt
in der Lokalisierung
. Dies bedeutet, dass es Elemente
und
und Elemente
(also mit
und
)
mit
-
![{\displaystyle {}f={\frac {a_{1}}{s_{1}}}g_{1}h_{1}+\cdots +{\frac {a_{n}}{s_{n}}}g_{n}h_{n}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb6bf1266e291d0bd56d6458569841f4d612bbd5)
gibt. Dies bedeutet zurückübersetzt nach
, dass es ein Element
mit
-
![{\displaystyle {}sf=b_{1}g_{1}h_{1}+\cdots +b_{n}g_{n}h_{n}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a6175b67f90393f57f02e93ad62716c56436f54)
für gewisse
gibt. Da
nicht zum maximalen Ideal
gehört, gibt es
und
mit
.
Wir multiplizieren die obige Gleichung mit
und erhalten
-
![{\displaystyle {}(1-g)f=r{\left(b_{1}g_{1}h_{1}+\cdots +b_{n}g_{n}h_{n}\right)}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5c2369dd293f2e070ef27b4df3d219b5affaf54)
bzw.
-
![{\displaystyle {}f=r{\left(b_{1}g_{1}h_{1}+\cdots +b_{n}g_{n}h_{n}\right)}+gf\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67dfdf5476d2dbf05086310a3f1fb706867d1b1b)
Dabei gehört die rechte Seite offensichtlich zu
, und damit definiert
das Nullelement in
.