Noetherscher Ring/Modul/Endlich erzeugt/Freie Auflösung/Existenz/Fakt/Beweis

Beweis

Znächst gibt es einen surjektiven ${}R$-Modulhomomorphismus

$\theta _{-1}\colon F=R^{r_{0}}\longrightarrow M,$

wobei die Standardvektoren ${}e_{i}$ auf ein (endliches) Erzeugendensystem ${}m_{i}$ von ${}M$ abgebildet werden. Somit hat man eine kurze exakte Sequenz

$0\longrightarrow M_{0}=\operatorname {kern} \left(\theta _{-1}\right)\longrightarrow F_{0}\longrightarrow M\longrightarrow 0.$

Nach Fakt ist ${}F_{0}$ ein noetherscher Modul und somit ist ${}M_{0}$ ebenfalls endlich erzeugt. Man findet daher wieder eine Surjektion

$\theta _{0}\colon F_{1}\longrightarrow M_{0}$

und so kann man induktiv fortfahren.

Zur bewiesenen Aussage