Normale Körpererweiterung/Elementare Eigenschaften/Fakt/Beweis

Beweis

(1) ist trivial.
(2). Sei  ${}x\in L$  mit dem Minimalpolynom ${}F$, das den Grad ${}1$ oder ${}2$ besitzt. In ${}L[X]$ besitzt ${}F$ einen Linearfaktor, der andere Faktor ist wegen der Gradbedingung konstant oder auch ein Linearfaktor.
(3). Zu jedem  ${}x\in L$  gibt es ein Polynom ${}F\in K[X]$, ${}F\neq 0$, mit  ${}F(x)=0$,  das über ${}L[X]$ zerfällt. Wegen  ${}K[X]\subseteq M[X]$  gilt diese Eigenschaft auch für  ${}M\subseteq L$. 
(4). Nach (3) können wir sofort eine Körpererweiterung  ${}\mathbb {Z} /(p)\subseteq {\mathbb {F} }_{q}$  mit einer Primzahl ${}p$ und einer Primzahlpotenz  ${}q=p^{e}$  betrachten. Jedes Element  ${}x\in {\mathbb {F} }_{q}$  ist nach dem Satz von Lagrange eine Nullstelle des Polynoms ${}X^{q}-X$, sodass dieses Polynom über ${}{\mathbb {F} }_{q}$ zerfällt.

Zur bewiesenen Aussage