Normale endliche Körpererweiterung/Konjugierte Elemente und Automorphismus/Fakt/Beweis

Beweis

Wenn es einen ${}K$-Automorphismus ${}\varphi$ mit ${}\varphi (\alpha )=\beta$ gibt, so induziert dieser einen Isomorphismus ${}K[\alpha ]\rightarrow K[\beta ]$. Da diese erzeugten Unterkörper jeweils durch die Minimalpolynome von ${}\alpha$ bzw. ${}\beta$ festgelegt sind, müssen die Minimalpolynome übereinstimmen. Also sind ${}\alpha$ und ${}\beta$ konjugiert.
Wenn umgekehrt die beiden Elemente konjugiert sind, so gibt es einen ${}K$-Isomorphismus ${}K[\alpha ]\rightarrow K[\beta ]$. Mit der Inklusion ${}K[\beta ]\subseteq L$ führt dies zu einem ${}K$-Homomorphismus

$K[\alpha ]\longrightarrow L,$

den man nach Fakt zu einem Automorphismus auf ${}L$ fortsetzen kann.

Zur bewiesenen Aussage