Normaler Raum/Lemma von Urysohn/Textabschnitt

Die folgende Aussage heißt Satz von Urysohn.

Satz

Es sei ${}X$ ein normaler topologischer Raum.

Dann gibt es zu disjunkten abgeschlossenen Teilmengen ${}Y,Z\subseteq X$ eine stetige Funktion ${}f\colon X\rightarrow \mathbb {R}$ mit ${}f{|}_{Y}=0$ und ${}f{|}_{Z}=1$.

Beweis

Wir definieren induktiv über ${}n$ zu den Zahlen ${}{\frac {k}{2^{n}}}$ mit ${}k\in \{0,\ldots ,2^{n}\}$ eine Kette von offenen Teilmengen ${}U_{\frac {k}{2^{n}}}$ und von abgeschlossenen Teilmengen ${}Y_{\frac {k}{2^{n}}}$ mit

${}U_{\frac {k}{2^{n}}}\subseteq Y_{\frac {k}{2^{n}}}\,$

und mit

${}Y_{\epsilon }\subseteq U_{\epsilon '}\,$

für ${}\epsilon <\epsilon '$. Wir starten induktiv mit ${}U_{0}=\emptyset$, ${}Y_{0}=Y$, ${}U_{1}=X\setminus Z$ und ${}Y_{1}=X$. Es seien die Mengen zum Nenner ${}2^{n}$ schon konstruiert. Das heißt, dass zum Nenner ${}2^{n+1}$ die Mengen zu den Indizes ${}{\frac {m}{2^{n+1}}}$ mit ${}m$ gerade schon konstruiert sind. Für ${}k$ ungerade liegt die Situation

${}Y_{\frac {k-1}{2^{n+1}}}\subseteq U_{\frac {k+1}{2^{n+1}}}\,$

vor. Aufgrund der Normalität gibt eine offene Menge ${}U_{\frac {k}{2^{n+1}}}$ und eine abgeschlossene Menge ${}Y_{\frac {k}{2^{n+1}}}$ mit

${}Y_{\frac {k-1}{2^{n+1}}}\subseteq U_{\frac {k}{2^{n+1}}}\subseteq Y_{\frac {k}{2^{n+1}}}\subseteq U_{\frac {k+1}{2^{n+1}}}\,$

wie gewünscht.

Wir definieren jetzt eine Funktion

$f\colon X\longrightarrow [0,1]$

durch

${}f(x)=\operatorname {inf} (t,x\in Y_{t})\,.$

Dabei besitzt ${}f$ auf ${}Y$ den Wert ${}0$ und auf ${}Z$ den Wert ${}1$. Es ist

${}f^{-1}([0,s])=\bigcap _{s\leq {\frac {k}{2^{n}}}}Y_{\frac {k}{2^{n}}}\,,$

woraus die Stetigkeit folgt.

$\Box$