Normaler noetherscher Bereich/Hauptdivisor/Definition

Hauptdivisor

Es sei ${}R$ ein normaler noetherscher Integritätsbereich mit Quotientenkörper ${}K=Q(R)$. Es sei ${}f\in K$, ${}f\neq 0$. Dann heißt die Abbildung, die jedem Primideal ${}{\mathfrak {p}}$ der Höhe ${}1$ in ${}R$ die Ordnung ${}\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}(f)$ zuordnet, der durch ${}f$ definierte Hauptdivisor. Er wird mit ${}\operatorname {div} (f)$ bezeichnet und als formale Summe

${}\operatorname {div} (f)=\sum _{\mathfrak {p}}\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}(f)\cdot {\mathfrak {p}}\,$

geschrieben.