Normalitätskriterium/Lemma von Hironaka/Fakt

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}R$ sei die Lokalisierung einer ${}K$-Algebra vom endlichen Typ. Es sei ${}f\in R$

ein Element, das die folgenden Eigenschaften erfüllt.

1. ${}f$ besitzt ein einziges minimales Primoberideal ${}{\mathfrak {p}}$.
2. In der Lokalisierung wird ${}{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}$ von ${}f$ erzeugt.
3. Der Restklassenring ${}R/{\mathfrak {p}}$ ist normal.

Dann ist ${}{\mathfrak {p}}=(f)$ und ${}R$ ist selbst normal.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen