Normalitätskriterium/Lemma von Hironaka/Fakt/Beweis

Beweis

Bei ${}f=0$ ist nichts zu zeigen, sei also ${}f\neq 0$ und somit ${}{\mathfrak {p}}$ nach Fakt ein Primideal der Höhe ${}1$. Es sei ${}S$ die Normalisierung von ${}R$. Da in ${}R_{\mathfrak {p}}$ das maximale Ideal ${}{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}$ von einem Element erzeugt wird, ist ${}R_{\mathfrak {p}}$ nach Fakt ein diskreter Bewertungsring und insbesondere normal. Daher liegt oberhalb von ${}{\mathfrak {p}}$ genau ein Primideal, das wir ${}{\mathfrak {q}}$ nennen. Dabei gilt ${}R_{\mathfrak {p}}\cong S_{\mathfrak {q}}$. Wir zeigen zuerst ${}{\mathfrak {q}}=fS$. Es sei dazu ${}g\in {\mathfrak {q}}$ und ${}{\mathfrak {r}}$ ein Primideal der Höhe ${}1$ von ${}S$. Nach Fakt ist ${}S$ vom endlichen Typ und insbesondere noethersch, daher ist gemäß Fakt die Zugehörigkeit ${}g\in fS_{\mathfrak {r}}$ für alle ${}{\mathfrak {r}}$ zu zeigen. Bei ${}f\notin {\mathfrak {r}}$ ist das richtig, da dann ${}f$ eine Einheit in ${}S_{\mathfrak {r}}$ ist. Es sei also ${}f\in {\mathfrak {r}}$. Doch dann ist ${}f\in {\mathfrak {r}}\cap R={\mathfrak {p}}$ und somit ${}{\mathfrak {r}}={\mathfrak {q}}$ und dann ist es auch richtig.

Wir betrachten nun die Hintereinanderschaltung

$R\longrightarrow S\longrightarrow S/{\mathfrak {q}}=S/fS,$

die eine endliche Erweiterung von Integritätsbereichen

$R/{\mathfrak {p}}\longrightarrow S/{\mathfrak {q}}$

induziert. Für die Quotientenkörper gilt dabei nach Fakt

${}Q(R/{\mathfrak {p}})=R_{\mathfrak {p}}/{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}=S_{\mathfrak {q}}/{\mathfrak {q}}S_{\mathfrak {q}}=Q(S/{\mathfrak {q}})\,.$

Da ${}R/{\mathfrak {p}}$ nach Voraussetzung normal ist, liegt ein Isomorphismus ${}R/{\mathfrak {p}}=S/{\mathfrak {q}}=S/fS$ vor. Somit wird jedes ${}s\in S$ modulo ${}fS$ durch ein Element aus ${}R$. repräsentiert. Also ist

${}S=R+fS\,.$

Wegen Fakt können wir Fakt anwenden und erhalten ${}R=S$. Also ist ${}R$ normal und ${}f$ erzeugt ${}{\mathfrak {p}}$ bereits in ${}R$.

Zur bewiesenen Aussage