Beweis
Durch eine einfache
Substitution
ist die Aussage äquivalent zu
-

Nennen wir dieses Integral
. Nach
Fakt ist
-

Durch Einführung von
Polarkoordinaten
und
ist dieses Integral nach
Fakt
und nach einer erneuten Anwendung von
Fakt
gleich
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}\,&={\frac {1}{2\pi }}\int _{[0,2\pi ]\times \mathbb {R} _{\geq 0}}e^{-{\frac {r^{2}}{2}}}\cdot r\,d\lambda ^{2}(r,\theta )\\&={\frac {1}{2\pi }}{\left(\int _{[0,2\pi ]}1\,d\lambda ^{1}(\theta )\right)}{\left(\int _{\mathbb {R} _{\geq 0}}e^{-{\frac {r^{2}}{2}}}\cdot r\,d\lambda ^{1}(r)\right)}\\&=\int _{\mathbb {R} _{\geq 0}}e^{-{\frac {r^{2}}{2}}}\cdot r\,d\lambda ^{1}(r)\\&=\int _{0}^{\infty }e^{-{\frac {r^{2}}{2}}}\cdot r\,dr\\&=-e^{-{\frac {r^{2}}{2}}}|_{0}^{\infty }\\&=1.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be7bc9328c78d8a190a2de7211793c6a9b60daf0)
Damit ist auch
.