Die
Abbildung
-
heißt Polarkoordinatenauswertung. Sie ordnet einem Radius und einem Winkel
(wegen diesen Bedeutungen schränkt man den Definitionsbereich häufig ein)
denjenigen Punkt der Ebene
(in kartesischen Koordinaten)
zu, zu dem man gelangt, wenn man in Richtung des Winkels
(gemessen von der -Achse aus gegen den Uhrzeigersinn)
die Strecke zurücklegt. Sie ist in jedem Punkt
stetig differenzierbar
mit der
Jacobi-Matrix
-
Diese Abbildung ist nicht
injektiv,
da die Abbildung im zweiten Argument, also im Winkel ,
periodisch
mit der Periode ist. Bei
ist
- unabhängig von -
das Bild gleich . Ferner ist
.
Die Abbildung kann also nicht global invertierbar sein.
Die
Determinante
der Jacobi-Matrix ist
-
Bei
liegt also nach
Fakt
ein
bijektives
totales Differential
vor. Nach dem
Satz über die lokale Umkehrabbildung
gibt es zu jedem Punkt mit
eine offene Umgebung
und eine bijektive Abbildung
-
Bei
kann man beispielsweise als offene Umgebung das
offene Rechteck
-
mit
und mit
wählen. Das Bild davon, also , ist der Schnitt des
(offenen)
Kreisringes zu den Radien
und
und dem
(offenen)
Kreissektor,
der durch die beiden Winkel
und
begrenzt ist.
Man kann diese Abbildung zu einer
bijektiven Abbildung,
und zwar zu einem
Diffeomorphismus,
auf großen offenen Mengen einschränken, beispielsweise zu
-
Die Bijektivität folgt dabei aus den grundlegenden Eigenschaften der
trigonometrischen Funktionen,
siehe insbesondere
Fakt.
Wenn man das offene Intervall durch das halboffene Intervall ersetzt, so bekommt man eine Bijektion zwischen und . Man kann aber nicht von einem Diffeomorphismus sprechen, da dies nur für offene Mengen definiert ist. Die Umkehrabbildung ist übrigens noch nicht einmal
stetig.