Normierte Räume/Kompakter Operator/Charakterisierung/Fakt/Beweis

Beweis

Von (1) nach (2) ist eine Einschränkung. Es sei (2) erfüllt. Dann ist die Eigenschaft überhaupt für jede offene oder abgeschlossene Kugel erfüllt. Eine beliebige beschränkte Teilmenge $T$ ist in einer Kugel enthalten und damit ist der Abschluss ihres Bildes nach Fakt ebenfalls kompakt, es gilt also (1).

Es sei (1) erfüllt und eine beschränkte Folge in $V$ gegeben. Dann liegt die Bildfolge in einer kompakten Teilmenge von $W$ und besitzt nach Fakt (für diese Richtung braucht man keine abzählbare Basis der Topologie) eine konvergente Teilfolge. Also gilt (3).

Es sei nun (3) erfüllt und $T \subseteq V$ beschränkt. Es ist die Kompaktheit von $φ (T)$ zu zeigen. Es sei $w_{n}$ , $n \in ℕ$ , eine Folge in $φ (T)$ . Es gibt dann eine Folge $v_{n} \in T$ mit

d (φ (v_{n}), w_{n}) \leq \frac{1}{n} .

Aufgrund der Eigenschaft (3) gibt es eine Teilfolge $v_{n_{k}}$ derart, dass $φ (v_{n_{k}})$ gegen ein Element $w \in \overline{φ (T)}$ konvergiert. Doch dann konvergiert auch die Teilfolge $w_{n_{k}}$ gegen $w$ .

Zur bewiesenen Aussage