Normierte Räume/Kompakter Operator/Charakterisierung/Fakt/Beweis

Beweis

Von (1) nach (2) ist eine Einschränkung. Es sei (2) erfüllt. Dann ist die Eigenschaft überhaupt für jede offene oder abgeschlossene Kugel erfüllt. Eine beliebige beschränkte Teilmenge ${}T$ ist in einer Kugel enthalten und damit ist der Abschluss ihres Bildes nach Fakt ebenfalls kompakt, es gilt also (1).

Es sei (1) erfüllt und eine beschränkte Folge in ${}V$ gegeben. Dann liegt die Bildfolge in einer kompakten Teilmenge von ${}W$ und besitzt nach Fakt (für diese Richtung braucht man keine abzählbare Basis der Topologie) eine konvergente Teilfolge. Also gilt (3).

Es sei nun (3) erfüllt und ${}T\subseteq V$ beschränkt. Es ist die Kompaktheit von ${}\varphi (T)$ zu zeigen. Es sei ${}w_{n}$, ${}n\in \mathbb {N}$, eine Folge in ${}\varphi (T)$. Es gibt dann eine Folge ${}v_{n}\in T$ mit

${}d{\left(\varphi (v_{n}),w_{n}\right)}\leq {\frac {1}{n}}\,.$

Aufgrund der Eigenschaft (3) gibt es eine Teilfolge ${}v_{n_{k}}$ derart, dass ${}\varphi (v_{n_{k}})$ gegen ein Element ${}w\in {\overline {\varphi (T)}}$ konvergiert. Doch dann konvergiert auch die Teilfolge ${}w_{n_{k}}$ gegen ${}w$.

Zur bewiesenen Aussage