Normierte Räume/Kompakter Operator/Charakterisierung/Fakt

Es seien $V,W$ normierte $𝕂$-Vektorräume und sei $\phi :V\to W$ eine lineare Abbildung. Dann sind die folgenden Eigenschaften äquivalent.

1. $\phi$ ist kompakt.
2. Das Bild der (offenen oder abgeschlossenen) Einheitskugel von $V$ ist relativ kompakt in $W$.
3. Jede beschränkte Folge in $V$ besitzt eine Teilfolge, deren Bildfolge in $W$ konvergiert.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen