Aufgrund von
Fakt
ist die Norm zu einem Skalarprodukt eine Norm im Sinne der folgenden Definition und ein Vektorraum mit einem Skalarprodukt ist insbesondere ein normierter Vektorraum.
Es sei
V
{\displaystyle {}V}
K
{\displaystyle {}{\mathbb {K} }}
Vektorraum .
Eine
Abbildung
‖
−
‖
:
V
⟶
R
,
v
⟼
‖
v
‖
,
{\displaystyle \Vert {-}\Vert \colon V\longrightarrow \mathbb {R} ,\,v\longmapsto \Vert {v}\Vert ,}
heißt
Norm ,
wenn die folgenden Eigenschaften für alle
v
,
w
∈
V
{\displaystyle {}v,w\in V}
Es ist
‖
v
‖
≥
0
{\displaystyle {}\Vert {v}\Vert \geq 0}
v
∈
V
{\displaystyle {}v\in V}
Es ist
‖
v
‖
=
0
{\displaystyle {}\Vert {v}\Vert =0}
v
=
0
{\displaystyle {}v=0}
Für
λ
∈
K
{\displaystyle {}\lambda \in {\mathbb {K} }}
v
∈
V
{\displaystyle {}v\in V}
‖
λ
v
‖
=
|
λ
|
⋅
‖
v
‖
.
{\displaystyle {}\Vert {\lambda v}\Vert =\vert {\lambda }\vert \cdot \Vert {v}\Vert \,.}
Für
v
,
w
∈
V
{\displaystyle {}v,w\in V}
‖
v
+
w
‖
≤
‖
v
‖
+
‖
w
‖
.
{\displaystyle {}\Vert {v+w}\Vert \leq \Vert {v}\Vert +\Vert {w}\Vert \,.}
Ein
K
{\displaystyle {}{\mathbb {K} }}
Vektorraum
heißt
normierter Vektorraum ,
wenn auf ihm eine
Norm
‖
−
‖
{\displaystyle {}\Vert {-}\Vert }
Auf einem euklidischen Vektorraum nennt man die über das Skalarprodukt gegebene Norm auch die euklidische Norm . Bei
V
=
R
n
{\displaystyle {}V=\mathbb {R} ^{n}}
‖
v
‖
=
∑
i
=
1
n
v
i
2
.
{\displaystyle {}\Vert {v}\Vert ={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}v_{i}^{2}}}\,.}
Die Summenmetrik heißt auch Taxi-Metrik . Die grüne Linie repräsentiert den euklidischen Abstand, die anderen repräsentieren den Summenabstand.
Zu einem Vektor
v
∈
V
{\displaystyle {}v\in V}
v
≠
0
{\displaystyle {}v\neq 0}
V
{\displaystyle {}V}
v
‖
v
‖
{\displaystyle {}{\frac {v}{\Vert {v}\Vert }}}
normierten Vektor . Ein solcher normierter Vektor besitzt die Norm
1
{\displaystyle {}1}
Normierung .
