Normierter Vektorraum/Lineare Abbildung/Normabschätzung/Stabil/Aufgabe/Lösung
Erscheinungsbild
- Es sei zunächst die Bedingung für alle Vektoren erfüllt. Dann ist
Wenn umgekehrt die Supremumsnorm ist, so gilt für jeden Vektor die Abschätzung
- Aus
folgt durch eine einfache Induktion direkt
für alle . Zu jedem Vektor sind also die Werte unter allen Potenzen von durch beschränkte und somit ist die Abbildung stabil.
- Wir betrachten die Matrix , die nach Fakt (5) stabil ist. Der Standardvektor wird dabei auf abgebildet, der in der euklidischen Norm größer als der Ausgangsvektor ist.