Normierter Vektorraum/Separabel/Äquivalente Formulierungen/Fakt/Beweis

Beweis

Die Äquivalenz von (1) und (2) ergibt sich aus Fakt. Wenn (2) erfüllt ist, so besitzt natürlich der durch eine abzählbare dichte Punktmenge erzeugte Untervektorraum ${}U$ eine abzählbare Basis und ${}U$ ist dicht. Es sei (3) erfüllt mit

${}U=\langle v_{n},\,n\in \mathbb {N} \rangle \,$

und dicht. Wir nehmen ${}{\mathbb {K} }=\mathbb {R}$ an und behaupten, dass der ${}\mathbb {Q}$-Vektorraum ${}T=\bigoplus _{n\in \mathbb {N} }\mathbb {Q} v_{n}$, der nach Fakt abzählbar ist, eine dichte Teilmenge von ${}V$ ist. Es sei dazu ${}Q\in U{\left(Q,\epsilon \right)}\subseteq V$ eine offene Umgebung eines Punktes ${}Q\in V$. Es gibt dann ein Element

${}u=\sum _{n\in E}a_{n}v_{n}\in U\,$

mit ${}E\subseteq \mathbb {N}$ endlich mit ${}m$ Elementen und ${}d{\left(Q,u\right)}=\delta <\epsilon$. Es sei ${}S$ eine obere Schranke für ${}\Vert {v_{n}}\Vert$, ${}n\in E$. Wenn man in ${}u$ die reellen Koeffizienten ${}a_{n}$ durch rationale Koeffizienten ${}b_{n}$ mit

${}\vert {b_{n}-a_{n}}\vert <{\frac {\epsilon -\delta }{mS}}\,$

ersetzt, so erhält man das Element ${}\sum _{n\in E}b_{n}v_{n}\in T$ innerhalb von ${}U{\left(Q,\epsilon \right)}$. Es ist ja

${}{\begin{aligned}\Vert {Q-\sum _{n\in E}b_{n}v_{n}}\Vert &\leq \Vert {Q-\sum _{n\in E}a_{n}v_{n}}\Vert +\Vert {\sum _{n\in E}b_{n}v_{n}-\sum _{n\in E}a_{n}v_{n}}\Vert \\&\leq \delta +\sum _{n\in E}\vert {b_{n}-a_{n}}\vert \Vert {v_{n}}\Vert \\&<\delta +\epsilon -\delta \\&=\epsilon .\end{aligned}}$

Zur bewiesenen Aussage