Normierter Vektorraum/Vektorenfamilie/Cauchy-Familie/Definition

Summierbare Familie (Vektoren)

Es sei ${}V$ ein normierter ${}{\mathbb {K} }$-Vektorraum, ${}I$ eine Indexmenge und ${}v_{i}$, ${}i\in I$, eine Familie von Vektoren aus ${}V$. Diese Familie heißt eine Cauchy-Familie, wenn es zu jedem  ${}\epsilon >0$  eine endliche Teilmenge  ${}E_{0}\subseteq I$  derart gibt, dass für jede endliche Teilmenge  ${}D\subseteq I$  mit  ${}E_{0}\cap D=\emptyset$  die Beziehung

${}\Vert {v_{D}}\Vert \leq \epsilon \,$

gilt.