Normierter Vektorraum/Vektorenfamilie/Cauchy-Familie/Definition

Summierbare Familie (Vektoren)

Es sei ${}V$ ein normierter ${}{\mathbb {K} }$-Vektorraum, ${}I$ eine Indexmenge und ${}v_{i}$, ${}i\in I$, eine Familie von Vektoren aus ${}V$. Diese Familie heißt eine Cauchy-Familie, wenn es zu jedem ${}\epsilon >0$ eine endliche Teilmenge ${}E_{0}\subseteq I$ derart gibt, dass für jede endliche Teilmenge ${}D\subseteq I$ mit ${}E_{0}\cap D=\emptyset$ die Beziehung

${}\Vert {v_{D}}\Vert \leq \epsilon \,$

gilt.