Normierter Vektorraum/Vektorenfamilie/Summierbar/Definition

Summierbare Familie (Vektoren)

Es sei ${}V$ ein normierter ${}{\mathbb {K} }$-Vektorraum, ${}I$ eine Indexmenge und ${}v_{i}$, ${}i\in I$, eine Familie von Vektoren aus ${}V$. Diese Familie heißt summierbar, wenn es ein ${}w\in V$ mit folgender Eigenschaft gibt: Zu jedem ${}\epsilon >0$ gibt es eine endliche Teilmenge ${}E_{0}\subseteq I$ derart, dass für alle endlichen Teilmengen ${}E\subseteq I$ mit ${}E_{0}\subseteq E$ die Beziehung

${}\Vert {v_{E}-w}\Vert \leq \epsilon \,$

gilt. Dabei ist ${}v_{E}=\sum _{i\in E}v_{i}$. Im summierbaren Fall heißt ${}w$ die Summe der Familie.