Normierter Vektorraum/Vektorenfamilie/Summierbar/Definition

Summierbare Familie (Vektoren)

Es sei ${}V$ ein normierter ${}{\mathbb {K} }$-Vektorraum, ${}I$ eine Indexmenge und ${}v_{i}$, ${}i\in I$, eine Familie von Vektoren aus ${}V$. Diese Familie heißt summierbar, wenn es ein  ${}w\in V$  mit folgender Eigenschaft gibt: Zu jedem  ${}\epsilon >0$  gibt es eine endliche Teilmenge  ${}E_{0}\subseteq I$  derart, dass für alle endlichen Teilmengen  ${}E\subseteq I$  mit  ${}E_{0}\subseteq E$  die Beziehung

${}\Vert {v_{E}-w}\Vert \leq \epsilon \,$

gilt. Dabei ist  ${}v_{E}=\sum _{i\in E}v_{i}$.  Im summierbaren Fall heißt ${}w$ die Summe der Familie.