Normierter Vektorraum/Vektorenfamilie/Summierbar/Definition

Summierbare Familie (Vektoren)

Es sei $V$ ein normierter $𝕂$-Vektorraum, $I$ eine Indexmenge und $v_i$, $i\in I$, eine Familie von Vektoren aus $V$. Diese Familie heißt summierbar, wenn es ein  $w\in V$  mit folgender Eigenschaft gibt: Zu jedem  $ϵ>0$  gibt es eine endliche Teilmenge  $E_0\subseteq I$  derart, dass für alle endlichen Teilmengen  $E\subseteq I$  mit  $E_0\subseteq E$  die Beziehung

$\Vert v_E-w\Vert \le ϵ$

gilt. Dabei ist  $v_E=\sum _{i\in E}{v}_i$.  Im summierbaren Fall heißt $w$ die Summe der Familie.