Normiertes Polynom/Grad 4/Wendepunktbedingung/Aufgabe/Lösung

Die relevanten Ableitungen sind

${}f'(x)=4x^{3}+3ax^{2}+2bx+c\,$

und

${}f^{\prime \prime }(x)=12x^{2}+6ax+2b\,.$

Die Frage ist äquivalent dazu, ob die zweite Ableitung zwei Nullstellen besitzt, da dann ${}f'$ von wachsend nach fallend nach wachsend wechselt (bei nur einer Nullstelle ist ${}f^{\prime \prime }$ nie negativ und ${}f'$ ist überall wachsend). Die Existenz von Lösungen der quadratische Gleichung

${}12x^{2}+6ax+2b=0\,$

hängt nach Fakt davon ab, ob ${}{\sqrt {36a^{2}-4\cdot 12\cdot 2b}}$ reell existiert, was genau dann der Fall ist, wenn

${}36a^{2}-96b\geq 0\,$

bzw.

${}a^{2}\geq {\frac {24}{9}}b\,$

ist. Die Existenz von zwei Lösungen ist dabei zu ${}>$ äquivalent. Das Polynom besitzt also genau dann (und zwar genau zwei) Wendepunkte, wenn

${}a^{2}>{\frac {24}{9}}b\,$

ist.

Zur gelösten Aufgabe