Nullstellenfreie Volumenform/Impliziert orientierte (Karten) Mannigfaltigkeit/Fakt/Beweis

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Beweis

Zu betrachtet man Kartengebiete mit der Eigenschaft, dass homöomorph zu einem offenen Ball ist. Es ist

mittels . Dabei ist die hintere Isomorphie durch die Standardbasis mit den Koordinaten gegeben. Es sei die zugehörige -Differentialform auf . Diese Form ist nullstellenfrei, und da zusammenhängend ist, ist nach dem Zwischenwertsatz positiv oder negativ. Im negativen Fall ersetzen wir die Karte, indem wir ein Basiselement durch sein Negatives ersetzen. Dadurch gewinnen wir für jeden Punkt eine Kartenumgebung, auf der die Form positiv ist. Zu zwei Karten und mit der Übergangsabbildung und den lokalen Beschreibungen und gilt dann wegen nach Fakt die Beziehung . Da und positiv sind, muss auch die Determinante positiv sein, so dass die Übergangsabbildung orientierungstreu und die Mannigfaltigkeit somit orientiert ist.