Nullstellenfreie Volumenform/Impliziert orientierte (Karten) Mannigfaltigkeit/Fakt/Beweis

Beweis

Zu ${}P\in M$ betrachtet man Kartengebiete ${}P\in U$ mit der Eigenschaft, dass ${}U$ homöomorph zu einem offenen Ball ${}V\subseteq \mathbb {R} ^{m}$ ist. Es ist

${}\bigwedge ^{m}TU\cong \bigwedge ^{m}TV\cong V\times \bigwedge ^{m}\mathbb {R} ^{m}\cong V\times \mathbb {R} \,$

mittels ${}\bigwedge ^{m}T(\alpha )$. Dabei ist die hintere Isomorphie durch die Standardbasis mit den Koordinaten ${}x_{1},\ldots ,x_{m}$ gegeben. Es sei ${}\alpha _{*}\omega =fdx_{1}\wedge \ldots \wedge dx_{m}$ die zugehörige ${}1$-Differentialform auf ${}V$. Diese Form ist nullstellenfrei, und da ${}V$ zusammenhängend ist, ist ${}f$ nach dem Zwischenwertsatz positiv oder negativ. Im negativen Fall ersetzen wir die Karte, indem wir ein Basiselement durch sein Negatives ersetzen. Dadurch gewinnen wir für jeden Punkt eine Kartenumgebung, auf der die Form positiv ist. Zu zwei Karten ${}\alpha \colon U\rightarrow V$ und ${}\beta \colon U\rightarrow V'$ mit der Übergangsabbildung ${}\psi =\beta \circ \alpha ^{-1}$ und den lokalen Beschreibungen ${}\alpha _{*}\omega =fdx_{1}\wedge \ldots \wedge dx_{m}$ und ${}\beta _{*}\omega =gdy_{1}\wedge \ldots \wedge dy_{m}$ gilt dann wegen ${}\psi ^{*}(\beta _{*}\omega )=\alpha _{*}\omega$ nach Fakt die Beziehung ${}f=g\circ \psi \det {\left(D\psi \right)}$. Da ${}f$ und ${}g$ positiv sind, muss auch die Determinante positiv sein, sodass die Übergangsabbildung orientierungstreu und die Mannigfaltigkeit somit orientiert ist.

Zur bewiesenen Aussage