Beweis
Zu
betrachtet man
Kartengebiete
mit der Eigenschaft, dass homöomorph zu einem offenen Ball
ist. Es ist
-
mittels . Dabei ist die hintere Isomorphie durch die Standardbasis mit den Koordinaten gegeben. Es sei
die zugehörige -Differentialform auf . Diese Form ist nullstellenfrei, und da
zusammenhängend
ist, ist nach dem
Zwischenwertsatz
positiv oder negativ. Im negativen Fall ersetzen wir die Karte, indem wir ein Basiselement durch sein Negatives ersetzen. Dadurch gewinnen wir für jeden Punkt eine Kartenumgebung, auf der die Form positiv ist. Zu zwei Karten
und
mit der Übergangsabbildung
und den lokalen Beschreibungen
und
gilt dann wegen
nach Fakt
die Beziehung
.
Da
und
positiv sind, muss auch die Determinante positiv sein, so dass die Übergangsabbildung
orientierungstreu
und die Mannigfaltigkeit somit
orientiert
ist.