In FDM werden die Ableitungen der gesuchten Funktion durch
Differenzenquotienten ersetzt.
Im folgenden wird die Hereitung der Differenzenquotienten für eine Funktion einer Veränderlichen demonstriert.
Die Formel für den zweiten Differenzenquotient kann auch durch sukzessive Anwendung des ersten zentralen Differenzenquotienten mit halber Schrittweite
hergeleitet werden, .
Randwertproblem für Diffusionsgleichung beschreibt ein Diffusionsproblem auf einem beschränkten Gebiet . Hierbei wird das Verhalten der unbekannten Funktion am Rand des Gebietes durch eine Bedingung festgelegt. Wir behandeln zuerst die stationäre Poissongleichung.
Numerische Diskretisierung des Randwertproblems[Bearbeiten]
Dirichletproblem auf dem Intervall (1D)[Bearbeiten]
Sei . Gesucht werden Näherungen für die Funktionswerte von auf dem äquidistanten Gitter
die Werte sind durch die Dirichlet-Randbedingungen (Werte am linken und rechten Rand) bekannt.
Diskretisierung durch Differenzenquotient[Bearbeiten]
In diesem Fall handelt es sich um gewöhnliche Differentialgleichung. Die zweiten Ableitungen werden mit Hilfe des zweiten Differenzenquotienten diskretisiert:
Nach der Anwendung der obigen Formel für jedes unter der Beachtung der Randbedingungen in den Formeln für für den Vektor den unbekannten Werte
ein lineares Gleichungsystem
mit einer tridiagonaler Systemmatrix , und dem Vektor der rechten Seite ,
SW7: Bemerkung: Lösbarkeit des linearen Gleichungssystems[Bearbeiten]
Die Systemmatrix ist regulär und damit invertierbar, symmetrisch und
positiv definit.
Der Lösungsvektor (numerische Lösung) lässt sich durch direkte Methoden für Gleichungssysteme wie Gauß-Eliminierung, oder LU und Choleski-Zerlegung bestimmen.
Aufgabe Stellen Sie die Systemmatrix und den Vektor der rechten Seite für diese Approximation der Neumann Randbedingung auf. Ist diese Matrix regulär?
Die Genauigkeit des Approximationsschemas gegeben durch das obere lineare Gleichungssystems ist durch diese Approximation der Ableitungen am Rand des Intervalls reduziert auf die erste Ordnung, der vernachlässigte Fehler ist insgesamt von der Größenordnung .
Um die Approximationsgüte der zweiten Differenzquotienten für die Approximation von im Inneren des Intervalls ,
auch für die Randbedingungen zu erhalten, verwendet man den ersten zentralen Differenzenquotient:
.
Damit man das lineare Gleichungssystem nicht wieder um neue Gleichungen für ergänzen muss,
eliminiert man diese Variablen mithilfe der Randbedingungen.
Man erhält aus obigen Gleichungen für folgende Gleichungen für :
Ersetzt man in den Gleichungen für den zweiten Differenzenquotient aus obigen Gleichungen, erhält man
anstelle der ersten und letzter Gleichung des linearen Systems:
Basierend auf der Approximation der ersten Ableitungen an den Rändern durch ersten zentralen Differenzenquotient erhält man auf diese Weise insgesamt die Approximation zweiter Ordnung.
Bemerkung: Dass die ersten zwei Gleichungen die Approximation mit einem Fehler insgesamt von der Größenordnung darstellen, sieht man nach der Multiplikation der obigen zwei Gleichungen mit .
Aufgabe: Stellen Sie die Systemmatrix und den Vektor der rechten Seite für diese Approximation der Neumann Randbedingung auf.
Bemerkung zur Lösbarkeit des linearen Systems für Neumann-Problem[Bearbeiten]
Die Systemmatrix ergänzt um die neuen Zeilen/Spalten für die Approximation der Neumann Randbedingung ist singulär, denn es gilt
wobei .
Man kann zeigen (Gauß Eliminierung)
.
Damit ist die Lösung dieses linearen System nicht eindeutig.
Dies korrespondiert auch mit der Theorie dieser Differentalgleichung und dem Erhaltungsgesetz:
Nicht-Eindeutigkeit und die notwendige Bedingung für Neumann-Problem[Bearbeiten]
Wenn die Funktion eine Lösung des Neumannproblems ist, dann ist diese Lösung nicht eindeutig, auch für jede beliebige Konstante ist eine Lösung.
Die Ableitungen am Rand bestimmen die Steigung der gesuchten Funktion, aber nicht deren Wert. Durch das Festlegen eines Wertes der gesuchten Funktion, z.B. wird die Lösung eindeutig.
existiert eine Lösung des Neumann Randwertproblems, dann muss diese nach der Integration erfüllen:
bzw. (mehrdimensional, Anwendung von Satz von Stokes, siehe
): ,
also müssen die Flüsse über den Rand und , bzw. mit dem Quellström im folgenden Sinne korrespondieren: Im stationären Zustand balanciert der Materialfluss durch die Ränder die Materialquelle im Inneren.
Die unbekannten Approximationen der Lösung in den Gitterpunkten
werden in einen langen Vektor eingeordnet, dabei werden diese Werte in einer bestimmter Reihenfolge in den Vektor aufgestellt.
Beispiel:
Zuerst sammelt man die Unbekannten in der ersten Zeile des Gitters (ist fest) in den Gitterpunkten von links nach rechts, , dann in der zweite Zeile u.s.w.
Die Approximationswerte sind in dem unbekannten Vektor dann wie folgt geordnet,
In der selben Reihenfolge wird auch der Vektor der rechten Seite aufgestellt,
Nach der oben beschriebener numerischen Diskretisierung und Assemblierung des unbekannten Vektors ergibt sich ein lineares Gleichungssystem mit Blocktridiagonaler Matrix
mit Diagonalblock
und der Einheitsmatrix auf der Nebendiagonale.
Sind die Randwerte der gesuchten Funktion unterschiedlich von Null, , tragen die bekannte Randwerte der gesuchten Funktion
zum Vektor der rechten Seite bei.
Aufgabe:
Seien Funktionen gegeben und die Randwerte der gesuchten Funktion am wie folgt festgelegt:
Linker/rechter Rand
unterer/oberer Rand
Wie verändert sich der Vektor der rechten Seite für diese Randbedingungen ?
Im Neumann-Problem mit äquidistanten Punktegitter wird die Anwendung der zweidimensionaler Differenzenquotienten in dasselbe Stern-Approximationsschema resultieren wie bei Dirichlet-Problem,
lediglich wird die Behandlung den Randbedingungen zu veränderter Struktur einiger Blöcke der tridiagonaler Matrix nach der Aufstellung des linearen Gleichungssystem führen.
Neumann-Randbedingungen auf dem Rechteck[Bearbeiten]
Seien die Ableitungen der unbekannten Funktion in den Randpunkten des Rechtecks gegeben:
Bei der Anwendung der einseitigen Differenzenquotienten, analog wie 1-dimensionalem Fall
muss der Vektor den Unbekannten um die Randwerte erweitert werden,
diese werden zur Bildung der Differenzenquotienten verwendet:
linker Rand: den vorwärts -Differenzenquotient
rechter Rand: den rückwärts -Differenzenquotient
unterer Rand: den vorwärts -Differenzenquotient
oberer Rand: den rückwärts -Differenzenquotient
(Hier wurde direkt die obige Neumann-Randbedingung für ein Rechteckgebiet eingesetzt.)
Nach der Einordnung der unbekannter Werte in den Lösungsvektor wie obenbeschrieben (siehe Assemblierung ) ergibt sich
wie zuvor eine erweiterte Blocktridiagonale Systemmatrix :
erweitert um die 0-te und m+1-te Blockzeile für die Approximation der Ableitung nach y in den Gitterpunkten am oberem und unterem Rand,
die Blöcke der Matrix: sind um die 0-te und n+1-te Zeile für die Approximation der Ableitung nach x in den Gitterpunkten am linkem und rechtem Rand erweitert, der Block ist mit der Approximationsmatrix des Neumann-Problem in einer Raumdimension identisch.
Aufgabe: Stellen Sie die Systemmatrix und die rechte Seite des linearen System des Approximationschemas für den oben definerten Neumann-Randwertproblem auf dem Rechteck D auf.
Wir untersuchen, unter welcher Vorausstetzungen und mit welcher Approximationsgüte
die numerische Lösung für das Randwertproblem für Poissongleichung,
(in 1D), ggf. (auf dem Recheteck in 2D),
repräsentiert durch den Vektor
zu der exakten Lösung in den Gitterpunkten , ggf. konvergiert.
Im folgenden bezeichnen wir mit
den Vektor der Restriktion der Funktion der exakten Lösung an die
Gitterpunkte , ggf (nach der Assemblierung).
Wir untersuchen den Unterschied der exakten und der numerischen Lösung in einer geeigneter Vektornorm auf , wobei im Folgenden N die Gesamtanzahl der Gitterpunkte bezeichnet (in vereinfachter Indexierung der Gitterpunkte).
Im folgenden werden wir zeigen, dass die Konvergenz für Gittergröße von
Wir setzen voraus, dass die Funktion der rechten Seite stetig ist.
Definition: (Konsistenzordnung)
Das Finite Differenzenverfahren für die Poisson Randwertaufgabe hat bezüglich einer Vektornorm in die Konsistenzordnung
wenn für jede hinreichend oft stetig differenzierbare Lösung des Originalproblems
ein existiert
Den Begriff der Konsistenz, Stabilität und schließlich der Beweis der Konvergenz für das FDM- Verfahren kann man auf
elliptische Randwertprobleme mit elliptischen Differenzialoperator für die Funktion ausbreiten.
Vorausgesetzt stetige Funktionen auf sind gegeben und .
Approximationschema des elliptischen Operators[Bearbeiten]
Das entsprechende Approximationsschema zum Differenzialoperator enthält im Fall vom Rechteckgebiet das Stern-Approximationsschema
für das Laplace Operator anhand der zweiten Differenzenquotienten (Matrix ) und ein weiteres Beitrag durch die Approximation des Gradienten mit einseitigen, oder zentralen Differenzenquotienten , siehe erste Differenzenquotient.
Die Konsistenzdefinition für den elliptischen Operator lautet:
Sei die exakte Lösung des obigen elliptischen Randwertproblems mit homogenen Randbedingungen.
Dann hat das Finite-Differenzen-Verfahren mit dem Approximationsschema
i) die Konsistenzordnung unter der Anwendung von einseitigen Differenzenquotienten
ii) die Konsistenzordnung unter der Anwendung von zentralen Differenzenquotienten
für den Term .
Beweis: basiert auf der Approximationsgüte der ersten und der zweiten Differenzenquotienten (Lemma 1 und 2). Für das Approximationsschema ergibt sich daraus
, für das Approximationsschema dagegen entweder oder .
Im Fall Rechteckgebiet, erhalten wir die Randwertaufgabe für Poissongleichung mit homogenen Dirichletrandbedingungen. In diesem Fall ist das Approximationsschema von der Konsistenzordnung .
Im Fall dass ein geschlossenes Intervall ist, erhalten wir aus Lemma 2 in der Maximum-Vektornorm für konkret
Damit ist die Konstante aus der Definition der Konsistenz im eindimensionalen Fall
Definition: (Stabilität) Das Finite-Differenzen-Verfahren für das elliptische Randwertproblem
heißt stabil (bezüglich einer Vektornorm ),
wenn existieren, , sodass die Matrix (Approximationsschema) invertierbar ist und es gilt für .
Die Untersuchung der Stabilität anhand der Konstruktion der inversen Matrix ist aufwändig.
Deswegen wird die Stabilität anhand anderer Kriterien untersucht, der Monotonie Eigenschaften der Matrix .
Bemerkung:
Die Stabilitätsbedingung garantiert auch die Beschränkheit der numerischen Lösung als Lösung des linearen Systems , denn in einer Vektornorm. Hier ist eine natürliche Matrixnorm.
Nach der Voraussetzung ist und somit sind und negativ. ist irreduzibel.
ist auch schwach-diagonaldominant:
für
wobei für die strikte Ungleichung gilt .
Monotonie der Systemmatrix und die Stabilität[Bearbeiten]
Sei zusätzlich eine stetige nichtnegative Funktion gegeben.
Für den elliptischen Operator mit Funktion aus obigen Hilfsproblem gilt nach Lemma 3:
Aus dem Satz über die Konsistenz des Approximationsschema für elliptische Operatoren erhalten wir für das Approximationsschema zum Operator
(unter Verwendung der zentralen Differenzenquotioenten)
und für den Vektor der Restriktion der Lösung auf die Gitterpunkte,
Aus dieser Abschätzung in Maximumnorm folgt, dass auch
gilt , wobei und schließlich
Da s. oben, erhalten wir aus der rechen Ungleichung
Folglich gilt für ausreichend kleine , aus Folgerung 2
Dann gilt für eine hinreichend kleine Schrittweite die zweite Konvergenzordnung:mit einer Konstante .
Dieses Ergebniss lässt sich verallgemeinern auf Intervall [a,b]. Um die Konvergenz des FDM-Verfahrens auf einem Rechteck-Gebiet in 2D nachzuweisen, muss man lediglich die Monotonie-Eigenschaften der Blocktridiagonaler Systemmatrix untersuchen.
SW10: Numerische Diskretisierung der Reaktionsdiffusionsgleichung mit FDM[Bearbeiten]
Hier beschreibt die unbekannte Funktion die Populationsdichte der (aktuell oder kummulierten) Infizierten Individuen, wobei
der Reaktionsterm die zeitliche Dynamik der aktuell oder der kummulierten Infizierten steuert. Der Reaktionsterm stellt den Zusammenhang der räumlichen Infektionsverbreitung als Diffusionsprozess und der dynamischen Kompartimentmodellen dar.
Alternativ kann auch den unbeschränkten Epideme-Ausbruch modellieren, siehe unbeschränktes Wachstum.
Räumliche Semidiskretisierung für die Diffusiongleichung[Bearbeiten]
Zuerst wird Neumann Randwertproblem für die zeitabhängige homogene Diffusionsgleichung auf einem Rechteckgebiet D betrachtet.
Im folgenden nehmen wir an, dass der Diffusionskoeffizient ist konstant, .
Somit erhalten wir die homogene Diffusionsgleichung in der Form .
System von gewöhnlichen Differentialgleichungen[Bearbeiten]
hierbei ist der Vektor der Restriktionen der exakten Lösung an die Gitterpunkte
in Zeitpunkt
und der Vektor der numerischen Lösung in den Gitterpunkten in Zeitpunkt .
Die Matrix des Approximationsschema für Neumann Randbedingungen hat die Form:
Schließlich ergibt sich nach der räumlichen Semidiskretisierung folgendes System der gewöhnlichen Differentialgleichungen:
,
Der Vektor der numerischen Lösung wird hier als Funktion von Zeit betrachtet.
Räumliche Semidiskretisierung für die Reaktionsdiffusiongleichung[Bearbeiten]
Diskretisierung des Reaktionsterms, Gesamtinfizierte[Bearbeiten]
Der Reaktionsterm an den Gitterpunkten wird
Mithilfe der Restriktionen der exakten Lösung formuliert,
für die kumulierte Infizierte (Logistisches Wachstum):
wobei Vektor der nach der Assemblierung aus der Matrix der Bevölkerungsdichte entstanden ist und ist komponentenweise Multiplikation.
Bemerkung: die logistische Infektionsrate , vergleiche Modifiziertes SIR Modell berechnet sich als Rate der Infektionsverbreitung bei einer Kontaktrate: Wahrscheinlichkeit des Kontakts eines Infizierten mit einem Anfälligen.
Diskretisierung des Reaktionsterms, aktuell Infizierte[Bearbeiten]
Diese partielle Differentialgleichungen werden durch die reche Seiten gekoppelt.
Die entsprechende Reaktionsterme und werden an den Gitterpunkten ausgewertet:
wobei die Wechselrate zwischen den Infizierten und Genesenen ist.
Da die erste und zweite partielle Differentialgleichung für nicht von abhängig ist, kann man diese zwei Gleichungen separat lösen und dann im Nachgang berechnen.)
System von gewöhnlichen Differentialgleichungen[Bearbeiten]
Nach der Zunahme des diskretisierten Reaktionstern zum System von gewöhnlichen Differentialgleichungen des räumlich diskretisierten Neumann Randwertproblems für die Diffusion ergibt sich folgendes System der gewöhnlichen Differentialgleichungen (GDGL) für die Reaktionsdiffusionsgleichung:
mit einem linearen Anteil und einem nichtlinearen Anteil .
Dieses GDGL System, ergänzt um die Anfangsbedingung gegeben durch eine bekannte Funktion
definiert ein Anfangswertproblem für Reaktionsdiffusionsgleichung.
Zeitdiskretisierung der Reaktion-Diffusionsgleichung[Bearbeiten]
Unter der Zeitdiskretisierung versteht man ein approximatives Vorgehen zur Bestimmung der Lösung eines Anfangswertproblems in
diskreten Zeitpunkten.
Der Zeitintervall wird auf äquidistante Teilintervalle der Länge geteilt.
Unter Verwendung von erhält man die Berechnungsformel
mit dem Startvektor
Die numerische Lösung in einem neuen Zeitschritt erhält man iterativ durch Einsetzen der Lösung aus dem vorherigen Zeitschritt in die rechte Seite der obigen Formel.
Dieses Verfahren hat beschränkten Bereich der zulässigen Schrittweiten im Hinblick auf die Stabilität der numerischen Lösung, die Schrittweite muss aus diesem Grund ausreichend klein gewählt werden, ansonsten kann die numerische Lösung nach wenigen Schritten instabil werden und 'explodieren'.
Unter Verwendung von erhält man die implizite Berechnungsformel
mit dem Startvektor
Die numerische Lösung im neuen Zeitschritt erhält man nach dem Lösen des obigen Systems von nichlinearen Gleichungen für und benötigt weitere numerische Approximationsverfahren für nichtlineare Gleichungssysteme. Dieses Verfahren hat gute Stabilitätseigenschaften in Hinblick auf die Schrittweite (es ist A-stabil), die Schrittweite ist stabilitätsbedingt nicht beschränkt.
Weitere Zeitdiskretisierungsverfahren für gewöhnliche Differentialgleichungen[Bearbeiten]
Sei eine gewöhnliche Differentialgleichung oder ein System von DGL gegeben allgemein als
Unter Verwendung des zentralen Differenzenquotienten erhält man die explizite Mittelpunktregel (verbessertes Eulerverfahren) zweiter Ordnug:
.
Ein weiteres Verfahren zweiter Ordnung ist die Trapezregel (Newmark scheme):
.
Für weitere Diskretisierungsverfahren für die Anfangswertprobleme ggf. höherer Konvergenzordnungen siehe Runge-Kutta und Mehrschrittverfahren.
In folgender Animation wurde die Reaktionsdiffusiongleichung für kummulierte Infizierte mit explizitem Eulerverfahren auf einem Gebet von 15 x 18 km berechnet.
Raumdiskretisierung des regionaldifferenzierten Diffusionskoffizienten[Bearbeiten]
Um die räumlichen Epidemieausbreitung regional zu differenzieren, nehmen wir an, dass der Diffusionskoeffizient von der Populationsdichte abhängig ist, siehe nicht-konstanter Diffusionkoeffizient
.
Für diesen Fall muss Diffusionsmatrix (das Approximationsschema) entsprechend angepasst werden, hierbei werden anstatt eines konstanten Faktors vor der Matrix entsprechende Gitterwerte der Funktion in der Matrix figurieren.
In den obigen Matrizen kann man die Zwischenwerte der Funktion c durch die Mittelwerte ersetzen:
In diesem Fall braucht man für den raumabhängigen Diffusionsokeffizient nur die Matrix der Werte an den Gitterpunkten speichern.
Für stückweise lineare Funktion sind die obigen Mittelwerte identisch mit den Zwischenwerten, d.h in den obigen Formeln
für gilt Gleichheit '='.
Im Fall einer allgemeinen Funktion ist die Approximation durch die Mittelwerte von zweiter Ordnung, was nach der Addition der
Taylorpolynome für bzw.
folgt.