Numerisches Monoid/Lokale kommutative noethersche Ringe/Numerische und algebraische Einbettungsdimension/Äquivalenz/Fakt/Beweis

Beweis

Es ist ${}{\mathfrak {n}}=(M_{+})=\bigoplus _{m\in M_{+}}K\,T^{m}$ und ${}{\mathfrak {n}}^{2}=(2M_{+})=\bigoplus _{m\in 2M_{+}}K\,T^{m}$. Der Restklassenraum ist daher

${}{\mathfrak {n}}/{\mathfrak {n}}^{2}=\bigoplus _{m\in M_{+}\setminus 2M_{+}}K\,T^{m}\,.$

Dessen ${}K$-Dimension ist also gleich der Anzahl der Elemente aus ${}M_{+}\setminus 2M_{+}$. Nach Fakt ist ${}M_{+}\setminus 2M_{+}$ das minimale Monoiderzeugendensystem von ${}M$, sodass die ${}K$-Dimension gleich der numerischen Einbettungsdimension ist.

Andererseits ist nach Fakt die ${}K$-Dimension von ${}{\mathfrak {n}}/{\mathfrak {n}}^{2}$ gleich der Einbettungsdimension des zugehörigen lokalen Rings ${}R_{\mathfrak {n}}$.

Zur bewiesenen Aussage