Numerisches Monoid/Singularitätsgrad/Ringkette/Aufgabe/Lösung

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Der Singularitätsgrad ist die Anzahl der Lücken von in , der nach Fakt mit übereinstimmt.

  1. Bei einer Kette von Monoiden

    muss in jedem Schritt mindestens ein Element hinzukommen, so dass ist. Wenn man sukzessive dadurch definiert, dass man zu das größte Element hinzunimmt, das nicht zu gehört, so ist dies ein Monoid, das genau ein Element mehr als besitzt. Dieses Verfahren ergibt eine Kette der Länge wie gewünscht.

  2. Zur Kette der Länge gehört die Kette von -Algebren

    wobei die Inklusionen echt sind, da zu auch gilt. Dass es keine längeren Ketten gibt, wird allgemeiner in Teil (3) begründet.

  3. Die Algebrakette aus Teil (2) ist insbesondere eine Kette von -Untervektorräumen. Wegen

    kann es keine längeren Ketten von Untervektorräumen geben, da diese den Ketten im Restklassenraum entsprechen und es in einem Vektorraum der Dimension nur Ketten der maximalen Länge geben kann.

Zur gelösten Aufgabe