Der Singularitätsgrad ist die Anzahl der Lücken von in , der nach
Fakt
mit
übereinstimmt.
- Bei einer Kette von Monoiden
-
muss in jedem Schritt mindestens ein Element hinzukommen, sodass
ist. Wenn man sukzessive dadurch definiert, dass man zu das größte Element hinzunimmt, das nicht zu gehört, so ist dies ein Monoid, das genau ein Element mehr als besitzt. Dieses Verfahren ergibt eine Kette der Länge wie gewünscht.
- Zur Kette der Länge gehört die Kette von
-Algebren
-
wobei die Inklusionen echt sind, da zu auch gilt. Dass es keine längeren Ketten gibt, wird allgemeiner in Teil (3) begründet.
- Die Algebrakette aus Teil (2) ist insbesondere eine Kette von
-Untervektorräumen.
Wegen
-
kann es keine längeren Ketten von Untervektorräumen geben, da diese den Ketten im Restklassenraum entsprechen und es in einem Vektorraum der Dimension nur Ketten der maximalen Länge geben kann.