Es sei ein Diagonalelement und es sei der kleinste Index mit
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Wir müssen zeigen, dass es einen Vektor
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mit
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gibt. Wir zeigen die Existenz eines solchen Vektors mit
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und
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für
.
Damit sind die -ten Zeilen zu
für
erfüllt. Die unteren Zeilen werden
(wir schreiben
-
und
)
zum Gleichungssystem
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-
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bzw. zum linearen Gleichungssystem
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Die letzte Gleichung ist stets, also insbesondere mit
erfüllt. Da
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ist für
,
ist in diesem Gleichungssystem in Dreiecksgestalt der Anfangsterm
-
für
von verschieden. Nach
Fakt
kann man also
zu einer Lösung ergänzen.