Obere Dreiecksmatrix/Diagonalelement/Eigenwert/Direkt/Aufgabe/Lösung

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Es sei ein Diagonalelement und es sei der kleinste Index mit

Wir müssen zeigen, dass es einen Vektor

mit

gibt. Wir zeigen die Existenz eines solchen Vektors mit

und

für . Damit sind die -ten Zeilen zu für erfüllt. Die unteren Zeilen werden (wir schreiben

und ) zum Gleichungssystem

bzw. zum linearen Gleichungssystem

Die letzte Gleichung ist stets, also insbesondere mit erfüllt. Da

ist für , ist in diesem Gleichungssystem in Dreiecksgestalt der Anfangsterm

für von verschieden. Nach Fakt kann man also

zu einer Lösung ergänzen.