Obere Dreiecksmatrix/Eigenwert/Rechts unten/Falscher Beweis/Aufgabe

Was ist falsch an der folgenden Argumentation:

„Aussage: Es sei $\lambda$ ein Eigenwert zur oberen Dreiecksmatrix

$M=\left(\begin{array}{ccccc}{d}_1& \ast & \cdots & \cdots & \ast \\ 0& d_2& \ast & \cdots & \ast \\ ⋮& \ddots & \ddots & \ddots & ⋮\\ 0& \cdots & 0& d_{n-1}& \ast \\ 0& \cdots & \cdots & 0& d_n\end{array}\right).$

Dann ist

$\lambda =d_n.$

Beweis: Es sei

$x=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)$

ein Eigenvektor der Matrix zum Eigenwert $\lambda$. Dies bedeutet die Gleichheit

$\left(\begin{array}{ccccc}{d}_1& \ast & \cdots & \cdots & \ast \\ 0& d_2& \ast & \cdots & \ast \\ ⋮& \ddots & \ddots & \ddots & ⋮\\ 0& \cdots & 0& d_{n-1}& \ast \\ 0& \cdots & \cdots & 0& d_n\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)=\lambda \left(\begin{array}{c}{x}_1\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right).$

Diese Gleichheit bedeutet die entsprechende Gleichheit in jeder Zeile. Speziell ergibt sich für die letzte Zeile die Bedingung

$d_n{x}_n=\lambda x_n.$

Da $x$ als Eigenvektor von $0$ verschiedenen sein muss, kann man durch $x_n$ dividieren und erhält  $d_n=\lambda$.  “

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