Obere Dreiecksmatrix/Kanonische Zerlegung/1/Aufgabe/Lösung

a) Es ist

${}M-5E_{3}={\begin{pmatrix}0&2&3\\0&0&6\\0&0&-1\end{pmatrix}}\,$

eine Matrix mit Rang ${}2$, daher ist der Eigenraum zum Eigenwert ${}5$ eindimensional. Daher hat die jordansche Normalform die Gestalt

${\begin{pmatrix}5&1&0\\0&5&0\\0&0&4\end{pmatrix}}.$

b) In der Basis, in der die jordansche Normalform vorliegt, ist

${}{\begin{pmatrix}5&1&0\\0&5&0\\0&0&4\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}5&0&0\\0&5&0\\0&0&4\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}\,.$

Dabei ist der Summand links in Diagonalgestalt, also insbesondere diagonalisierbar, und der Summand rechts ist nilpotent. Ferner ist

${}{\begin{pmatrix}5&0&0\\0&5&0\\0&0&4\end{pmatrix}}\circ {\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&5&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}\,$

und

${}{\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}\circ {\begin{pmatrix}5&0&0\\0&5&0\\0&0&4\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&5&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}\,,$

sodass auch die Vertauschbarkeitsbeziehung gilt.

c) Die Summanden sind diagonalisierbar bzw. nilpotent, allerdings ist

${}{\begin{pmatrix}5&0&0\\0&5&0\\0&0&4\end{pmatrix}}\circ {\begin{pmatrix}0&2&3\\0&0&6\\0&0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&10&15\\0&0&30\\0&0&0\end{pmatrix}}\,$

und

${}{\begin{pmatrix}0&2&3\\0&0&6\\0&0&0\end{pmatrix}}\circ {\begin{pmatrix}5&0&0\\0&5&0\\0&0&4\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&10&12\\0&0&24\\0&0&0\end{pmatrix}}\,.$

Zur gelösten Aufgabe