Obere Dreiecksmatrix/Kanonische Zerlegung/1/Aufgabe/Lösung

a) Es ist

$M-5E_3=\left(\begin{array}{ccc}0& 2& 3\\ 0& 0& 6\\ 0& 0& -1\end{array}\right)$

eine Matrix mit Rang $2$, daher ist der Eigenraum zum Eigenwert $5$ eindimensional. Daher hat die jordansche Normalform die Gestalt

$\left(\begin{array}{ccc}5& 1& 0\\ 0& 5& 0\\ 0& 0& 4\end{array}\right).$

b) In der Basis, in der die jordansche Normalform vorliegt, ist

$\left(\begin{array}{ccc}5& 1& 0\\ 0& 5& 0\\ 0& 0& 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}5& 0& 0\\ 0& 5& 0\\ 0& 0& 4\end{array}\right)+\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right).$

Dabei ist der Summand links in Diagonalgestalt, also insbesondere diagonalisierbar, und der Summand rechts ist nilpotent. Ferner ist

$\left(\begin{array}{ccc}5& 0& 0\\ 0& 5& 0\\ 0& 0& 4\end{array}\right)\circ \left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}0& 5& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$

und

$\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)\circ \left(\begin{array}{ccc}5& 0& 0\\ 0& 5& 0\\ 0& 0& 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}0& 5& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right),$

sodass auch die Vertauschbarkeitsbeziehung gilt.

c) Die Summanden sind diagonalisierbar bzw. nilpotent, allerdings ist

$\left(\begin{array}{ccc}5& 0& 0\\ 0& 5& 0\\ 0& 0& 4\end{array}\right)\circ \left(\begin{array}{ccc}0& 2& 3\\ 0& 0& 6\\ 0& 0& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}0& 10& 15\\ 0& 0& 30\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$

und

$\left(\begin{array}{ccc}0& 2& 3\\ 0& 0& 6\\ 0& 0& 0\end{array}\right)\circ \left(\begin{array}{ccc}5& 0& 0\\ 0& 5& 0\\ 0& 0& 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}0& 10& 12\\ 0& 0& 24\\ 0& 0& 0\end{array}\right).$

Zur gelösten Aufgabe