Obere Einheitshalbkugel/Geometrischer Schwerpunkt/Beispiel

Wir berechnen den Schwerpunkt der oberen Einheitshalbkugel, also von

${}T={\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 1,\,z\geq 0\right\}}\,.$

Die ${}x$- und die ${}y$-Koordinate muss aus Symmetriegründen natürlich ${}0$ sein. Für die ${}z$-Koordinate berechnen wir

${}{\begin{aligned}\int _{-1}^{1}\int _{-{\sqrt {1-x^{2}}}}^{\sqrt {1-x^{2}}}\int _{0}^{\sqrt {1-x^{2}-y^{2}}}zdzdydx&=\int _{-1}^{1}\int _{-{\sqrt {1-x^{2}}}}^{\sqrt {1-x^{2}}}{\frac {1}{2}}{\left(1-x^{2}-y^{2}\right)}dydx\\&={\frac {1}{2}}\int _{-1}^{1}{\left({\left(1-x^{2}\right)}y-{\frac {1}{3}}y^{3}\right)}{|}_{-{\sqrt {1-x^{2}}}}^{\sqrt {1-x^{2}}}dx\\&={\frac {1}{2}}\int _{-1}^{1}{\left(1-x^{2}\right)}{\sqrt {1-x^{2}}}-{\frac {1}{3}}{\left(1-x^{2}\right)}{\sqrt {1-x^{2}}}-{\left(-{\left(1-x^{2}\right)}{\sqrt {1-x^{2}}}+{\frac {1}{3}}{\left(1-x^{2}\right)}{\sqrt {1-x^{2}}}\right)}dx\\&={\frac {1}{2}}\int _{-1}^{1}{\frac {4}{3}}{\left(1-x^{2}\right)}{\sqrt {1-x^{2}}}dx\\&={\frac {2}{3}}\int _{-1}^{1}{\left(1-x^{2}\right)}{\sqrt {1-x^{2}}}dx.\,\end{aligned}}$

Wir führen die Substitution mit ${}x=\sin u$ durch und erhalten (ohne den Vorfaktor)

${}{\begin{aligned}\int _{-{\frac {\pi }{2}}}^{\frac {\pi }{2}}{\left(1-\sin ^{2}u\right)}\cos u\cdot \cos udu&=\int _{-{\frac {\pi }{2}}}^{\frac {\pi }{2}}{\left(1-\sin ^{2}u\right)}{\left(1-\sin ^{2}u\right)}du\\&=\int _{-{\frac {\pi }{2}}}^{\frac {\pi }{2}}1-2\sin ^{2}u+\sin ^{4}udu\\&=2\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}1-2\sin ^{2}u+\sin ^{4}udu.\end{aligned}}$

Unter Verwendung von Beispiel ist dieses Integral gleich

${}2{\left({\frac {\pi }{2}}-2{\frac {\pi }{4}}+{\frac {3}{8}}\cdot {\frac {\pi }{2}}\right)}={\frac {3}{8}}\pi \,.$

Das Volumen der halben Einheitskugel ist nach Beispiel gleich ${}{\frac {2}{3}}\pi$. Daher ist die ${}z$-Koordinate des Schwerpunkts gleich

${}{\frac {{\frac {2}{3}}\cdot {\frac {3}{8}}\pi }{{\frac {2}{3}}\pi }}={\frac {3}{8}}\,.$