Obere Einheitshalbkugel/Geometrischer Schwerpunkt/Beispiel

Wir berechnen den Schwerpunkt der oberen Einheitshalbkugel, also von

$T=\{(x,y,z)\in {ℝ}^3\mid x^2+y^2+z^2\le 1,z\ge 0\}.$

Die $x$- und die $y$-Koordinaten müssen aus Symmetriegründen natürlich $0$ sein. Für die $z$-Koordinate berechnen wir

$\begin{array}{cc}{\int }_{-1}^1{\int }_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}}{\int }_0^{\sqrt{1-x^2-y^2}}zdzdydx& ={\int }_{-1}^1{\int }_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}}\frac{1}{2}(1-x^2-y^2)dydx\\ & =\frac{1}{2}{\int }_{-1}^1((1-x^2)y-\frac{1}{3}{y}^3){|}_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}}dx\\ & =\frac{1}{2}{\int }_{-1}^1(1-x^2)\sqrt{1-x^2}-\frac{1}{3}(1-x^2)\sqrt{1-x^2}-(-(1-x^2)\sqrt{1-x^2}+\frac{1}{3}(1-x^2)\sqrt{1-x^2})dx\\ & =\frac{1}{2}{\int }_{-1}^1\frac{4}{3}(1-x^2)\sqrt{1-x^2}dx\\ & =\frac{2}{3}{\int }_{-1}^1(1-x^2)\sqrt{1-x^2}dx.\end{array}$

Wir führen die Substitution mit  $x=\sin u$  durch und erhalten (ohne den Vorfaktor)

$\begin{array}{cc}{\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}(1-{\sin }^{2}u)\cos u\cdot \cos udu& ={\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}(1-{\sin }^{2}u)(1-{\sin }^{2}u)du\\ & ={\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}1-2{\sin }^{2}u+{\sin }^{4}udu\\ & =2{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}1-2{\sin }^{2}u+{\sin }^{4}udu.\end{array}$

Unter Verwendung von Beispiel ist dieses Integral gleich

$2(\frac{\pi }{2}-2\frac{\pi }{4}+\frac{3}{8}\cdot \frac{\pi }{2})=\frac{3}{8}\pi .$

Das Volumen der halben Einheitskugel ist nach Beispiel gleich $\frac{2}{3}\pi$. Daher ist die $z$-Koordinate des Schwerpunkts gleich

$\frac{\frac{2}{3}\cdot \frac{3}{8}\pi }{\frac{2}{3}\pi }=\frac{3}{8}.$