Obere Halbkugel/Graph/Fläche/Aufgabe/Lösung

Die obere Sphärenhälfte ist der Graph zur Funktion

$\psi \colon B\left(0,1\right)\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(u,v)\longmapsto {\sqrt {1-u^{2}-v^{2}}}.$

Die partiellen Ableitungen der Parametrisierung dieses Graphen sind ${}{\begin{pmatrix}1\\0\\{\frac {-u}{\sqrt {1-u^{2}-v^{2}}}}\end{pmatrix}}$ und ${}{\begin{pmatrix}0\\1\\{\frac {-v}{\sqrt {1-u^{2}-v^{2}}}}\end{pmatrix}}$ und daher ist nach Fakt die Wurzelfunktion aus

${}1+{\frac {u^{2}}{1-u^{2}-v^{2}}}+{\frac {v^{2}}{1-u^{2}-v^{2}}}={\frac {1}{1-u^{2}-v^{2}}}\,$

ausschlaggebend. Der Flächeninhalt der halben Einheitssphäre ist somit

$\int _{B}{\frac {1}{\sqrt {1-u^{2}-v^{2}}}}d\lambda ^{2}.$

Mit der Substitution ${}u={\sqrt {w}}\cos \alpha$ und ${}v={\sqrt {w}}\sin \alpha$ ergibt sich mit der Transformationsformel unter Verwendung von Aufgabe

${}\int _{B}{\frac {1}{\sqrt {1-u^{2}-v^{2}}}}d\lambda ^{2}=\int _{[0,2\pi ]\times [0,1]}{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1}{\sqrt {1-w}}}d\lambda ^{2}=\pi \cdot \int _{0}^{1}{\frac {1}{\sqrt {1-w}}}dw=\pi \cdot (-2{\sqrt {1-w}}){|}_{0}^{1}=2\pi \,.$

Der Flächeninhalt der Sphäre ist also ${}4\pi$.

Zur gelösten Aufgabe