Die obere Sphärenhälfte ist der Graph zur Funktion
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Die partiellen Ableitungen der Parametrisierung dieses Graphen sind
und
und daher ist nach
Fakt
die Wurzelfunktion aus
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![{\displaystyle {}1+{\frac {u^{2}}{1-u^{2}-v^{2}}}+{\frac {v^{2}}{1-u^{2}-v^{2}}}={\frac {1}{1-u^{2}-v^{2}}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1bad0acd68c52cd297c77b47477ecff52ab1a2e)
ausschlaggebend. Der Flächeninhalt der halben Einheitssphäre ist somit
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Mit der Substitution
und
ergibt sich
mit der Transformationsformel
unter Verwendung von
Aufgabe
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![{\displaystyle {}\int _{B}{\frac {1}{\sqrt {1-u^{2}-v^{2}}}}d\lambda ^{2}=\int _{[0,2\pi ]\times [0,1]}{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1}{\sqrt {1-w}}}d\lambda ^{2}=\pi \cdot \int _{0}^{1}{\frac {1}{\sqrt {1-w}}}dw=\pi \cdot (-2{\sqrt {1-w}}){|}_{0}^{1}=2\pi \,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e24dc66cb810884f07c0166ef0221b0982b386a)
Der Flächeninhalt der Sphäre ist also
![{\displaystyle {}4\pi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e73b2bd96bfce30a29350554ad6badca510564bb)
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