Diffeomorphismus/Transformationsformel für Integrale/Fakt

Die Transformationsformel für Integrale

Es seien ${}G$ und ${}H$ offene Mengen im ${}\mathbb {R} ^{n}$ und es sei

$\varphi \colon G\longrightarrow H$

ein ${}C^{1}$-Diffeomorphismus mit der Jacobi-Determinante

${}(J(\varphi ))(x)=\det \left(D\varphi \right)_{x}\,$

für ${}x\in G$. Es sei

$f\colon H\longrightarrow \mathbb {R}$

eine messbare Funktion.

Dann ist ${}f$ auf ${}H$ genau dann integrierbar, wenn die Hintereinanderschaltung ${}f\circ \varphi$ auf ${}G$ integrierbar ist. In diesem Fall gilt

${}\int _{H}f\,d\lambda ^{n}=\int _{G}(f\circ \varphi )\vert {J(\varphi )}\vert \,d\lambda ^{n}\,.$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen