Offene Menge/C/Holomorphe Formen/Modulo exakt/Homologieauswertung/Injektiv/Aufgabe

Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gebiet, es bezeichne ${}H(U,\Omega )$ den Vektorraum aller holomorphen Differentialformen auf ${}U$ und ${}H(U,\Omega )_{\text{exakt}}$ den Untervektorraum der exakten Differentialformen. Zeige die folgenden Aussagen.

1. Die Abbildung (vergleiche Fakt)

   $\Psi \colon H(U,\Omega )\longrightarrow \operatorname {Hom} {\left(H_{1}(U,\mathbb {Z} ),{\mathbb {C} }\right)},\,\omega \longmapsto \Psi _{\omega },$

   ist ${}{\mathbb {C} }$-linear.

2. Die Abbildung ${}\Psi$ aus (1) induziert eine lineare Abbildung

   $\Psi \colon H(U,\Omega )/H(U,\Omega )_{\text{exakt}}\longrightarrow \operatorname {Hom} {\left(H_{1}(U,\mathbb {Z} ),{\mathbb {C} }\right)},$

3. Die Abbildung aus (2) ist injektiv.

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