Offene Menge/C/Logarithmus/Aspekte/3 nach 1/Fakt

Es sei  ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$  eine offene Menge mit  ${}0\notin U$  und sei ${}L\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine holomorphe Funktion. Es sei

${}L(\exp z)=z+b\,$

auf jeder offenen zusammenhängenden Teilmenge von ${}\exp ^{-1}(U)$ (mit einer Konstanten ${}b$).

Dann ist

${}L'(z)={\frac {1}{z}}\,.$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen