Offene Menge/C/Logarithmus/Aspekte/Fakt

Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene Menge mit ${}0\notin U$ und sei ${}L\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine holomorphe Funktion.

Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. Es ist

   ${}L'(z)={\frac {1}{z}}\,,$

   d.h. ${}L$ ist eine Stammfunktion zu ${}{\frac {1}{z}}$.

2. Es ist

   ${}\exp \left(L(z)\right)=az\,$

   (mit einer Konstanten ${}a\neq 0$) auf jeder offenen zusammenhängenden Teilmenge von ${}U$.

3. Es ist

   ${}L(\exp z)=z+b\,$

   auf jeder offenen zusammenhängenden Teilmenge von ${}\exp ^{-1}(U)$ (mit einer Konstanten ${}b$).

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen