OpenSource4School/Mathematik zum Anfassen/Bunte Steine

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Bunte Steine![Bearbeiten]

Bunte Steine


Kurzbeschreibung des Exponates[Bearbeiten]

Wie kann das geplante Exponat kurz beschrieben werden?

Es gibt vier Formen aus jeweils vier Farben. Die Teilnehmer sollen die Formen so hinlegen, dass in jeder Zeile und Spalte jeweils eine Form und eine Farbe vorkommt.

Welche Teilnehmer sollen angesprochen werden?[Bearbeiten]

Gibt es einen speziellen Adressatenkreis des Exponates?

Hauptsächlich sind Kleinkinder, die schon Farben und Formen erkennen und unterscheiden können, angesprochen.

Mathematischer Gehalt[Bearbeiten]

Wie kann der mathematische Gehalt des geplanten Exponates beschrieben werden?

Die Kinder erkennen und benennen die geometrischen Formen, welche sie in ihrem späteren Mathematikunterricht brauchen werden. Nebenbei wird die Feinmotorik gefördert und all dies wird durch den Einsatz von Farben komplizierter gemacht.

Zentrale Aufgaben bzw. Arbeits­aufträge in der "Lernumgebung" des Exponates[Bearbeiten]

Welche Aufgabe/Aufgaben bzw. Arbeitsaufträge stehen im Zentrum des Exponates?

Platziere die Steine so, dass in jeder Spalte und Zeile jeweils ein Stein aus einer Farbe und einem Form vorkommt. Achte darauf, dass keine Steine der selben Form oder Farbe übereinander platziert werden.

Material-Raum-Arrangement[Bearbeiten]

Welches Material wird benötigt? Welche Arbeitsblätter werden verwendet? Wie muss die "Tischsituation" vorbereitet sein?

Es wird ein Spielbrett und jeweils vier Formen aus jeweils vier Farben benötigt. Es wird ein Tisch benötigt, auf dem das Kind die Steine hinlegen kann. Außerdem dürfen in der Umgebung keine ablenkenden Sachen liegen.

Wichtige Aspekte und Überlegungen zur Durchführung[Bearbeiten]

Die Kinder legen zuerst die Steine zeilenweise auf das Spielbrett ohne auf die Spalten zu achten. Im Nachhinein achten die Kinder auf die Spalten und korrigieren die falschen Steine. Danach merken die Teilnehmer, dass die Quadrate jeweils ein Stein aus jeder Form und Farbe beinhalten. Das Exzerpt kann in Einzel- oder Partnerarbeit durchgeführt werden. Zum Schluss kann nochmal besprochen werden wie die Steine nun platziert worden und die mathematischen Formen können nochmal wiederholt werden. Konkrete Leitfragen könnten das Exzerpt begleiten, indem man das Kind fragt was für eine Form es in der Hand hat.

"Lernzuwachs" der Teilnehmer[Bearbeiten]

Welche mathematische Einsichten (Aha-Erlebnisse der Teilnehmer) können während der Situation gewonnen werden?

Die Kinder entdecken, dass die Quadrate niemals zwei gleiche Figuren gleicher Farbe enthalten.

Stolpersteine im Verlauf der Situation[Bearbeiten]

Welche inhaltlichen und organisatorischen Stolpersteine können während der Situation auftreten?

Es könnte sein, dass die Kinder sich nur auf die Zeilen fokusieren. Deshalb kann es vorkommen, dass zwei Formen oder Farben übereinander liegen.

Lösung[Bearbeiten]

Es gibt zwei Merkmale mit jeweils 4 Möglichkeiten: nennen wir diese A,B,C,D und 1,2,3,4. Es gibt 16 Objekte, sodass die zwei Merkmale sich nie beide wiederholen: nennen wir diese A1 bis D4.

Man kann zuerst die erste Zeile willkürlich wählen (aber natürlich den Regeln entsprechend). O.B.d.A. ist die erste Zeile A1,B2,C3,D4.

Eine mögliche Lösung ist dann

A1 B2 C3 D4
C4 D3 A2 B1
B3 A4 D1 C2
D2 C1 B4 A3

Die Lösung ist nicht eindeutig: man kann zum Beispiel die erste Zeile verändern oder das Raster einfach um 90° drehen... es gibt in der Tat einige Tausend Lösungen.

Mathematik[Bearbeiten]

Ein lateinisches Quadrat der Ordnung n ist eine n x n Matrix, bei der in jeder Zeile und jeder Spalte alle Zahlen von 1 bis n vorkommen. Da man in diesem Exponat zwei Merkmale hat, sucht man zwei lateinische Quadrate die orthogonal sind, d.h. sodass beim Übereinanderlegen alle möglichen n x n Zahlenpaare vorkommen.

Historischer Hintergrund[Bearbeiten]

Dieses Problem geht auf den Mathematiker Leonard Euler zurück der auf dem Hof in St. Petersburg arbeitete und im Jahr 1779 das "Problem der 36 Offiziere" formulierte:

Jeder Offizier wird durch ein Regiment und den Dienstgrad charakterisiert. Es gibt sechs Regimente und sechs Dienstgrade. Kombiniert man diese miteinander erhält man 6·6=36 Möglichkeiten. Man kann zum Beispiel sechs Offiziere vom ersten Regiment auswählen sodass jeder Dienstgrad einmal vorkommt, sechs vom zweiten Regiment sodass jeder Dienstgrad einmal vorkommt und so weiter. Die eigentliche zu lösende Frage war ob man diese 36 Offiziere in einem quadratischen Raster (6x6) so aufstellen kann, sodass in jeder Spalte und jeder Zeile jedes Regiment und jeder Dienstgrad nur einmal vorkommt.Im Allgemeinen kann man ein nxn Raster benutzen (d.h. n Merkmale mit jeweils n Möglichkeiten).

Es wurde bewiesen (Mitte des 20. Jahrhunderts), dass man für alle n ausser 2 und 6 es eine Lösung gibt (und für 2 und 6 keine Lösung gibt, da kann man alle Möglichkeiten ausschliessen).Z.B. wenn man die erste Zeile im 2X2 Raster gewählt hat muss man unbedingt die zweite Zeile wie folgt füllen

A1 B2
B2 A1

und diese ist keine gültige Lösung da man genau die Teile A1,A2,B1,B2 benutzen muss.