OpenSource4School/Mathematik zum Anfassen/Der Geheimcode

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Der Geheimcode[Bearbeiten]

Exponat: Der Geheimcode

Themenbereich[Bearbeiten]

Themen des Exponats sind Transpositionsverfahren in der Kryptographie sowie Kombinatorik.

Kurzbeschreibung des Exponats[Bearbeiten]

Wie kann das geplante Exponat kurz beschrieben werden?

Das Experiment basiert auf einer kreisrunden Scheibe mit 26 Löchern, welche als Schablone auf eine kreisförmige mit Buchstaben beschriftete Matrix gelegt wird. Dreht man die Kreisscheibe richtig, kann man in den Löchern dieser Scheibe einen Satz lesen. Der Text wird Zeile für Zeile gelesen. Sinnvolle Texte erscheinen lediglich in vier Positionen. Das Exponat ist eine erweiterte Version der sogenannten „Fleißnerschen Schablone“, die dem Verschlüsseln von Nachrichten dient.

Adressatenkreis[Bearbeiten]

Das Experiment kann bereits im frühen Kindesalter verstanden und durchgeführt werden.

Sozialform[Bearbeiten]

Das Decodieren der Geheimcodes kann selbstständig oder in Gruppenarbeit durchgeführt werden. Voraussetzung dafür ist, dass jedes Gruppenmitglied eine freie Sicht auf die Scheibe hat und konzentriert an der Decodierung mitarbeitet.

Strategie und Verschlüsselungsverfahren[Bearbeiten]

Die „Fleißner-Schablone“ als Basis des Exponats

Grundlage und ausschlaggebendes Hilfsmittel des im Mathematikum Gießen ausgestellten kreisförmigen Geheimcode-Exponats ist die Fleißner-Schablone. Die Verschlüsselung mithilfe der Fleißner-Schablone ist ein Transpositionsverfahren, bei dem die Zeichen einer Nachricht umsortiert bzw. verwürfelt werden und dennoch unverändert bleiben. Als charakteristische Version dieses Verschlüsselungsverfahren kann die folgende angeführt werden: Zunächst unterteilt man eine quadratische Schablone in kleinere Quadrate und schneidet einige davon nach einem bestimmten Muster aus. Diese Schablone wird dann auf eine gleichgroße quadratische Matrix gelegt. Zeilenweise schreibt man nun jeweils ein Buchstabe durch das entsprechende Loch auf das darunterliegende Papier. Die Schablone soll dabei derart konstruiert sein, dass bei einer Drehung um 90 Grad, um 180 Grad sowie um 270 Grad im Uhrzeigersinn die Löcher der Schablone auf noch unbeschriebene Felder aufkommen, die infolgedessen erneut beschrieben werden können. Auf diese Weise kann eine Verschlüsselung von z.B. vier Sätze erfolgen. Ferner muss die Lage der Löcher derart angeordnet sein, dass mittels der drei vorgegebenen Drehpositionen alle Felder der unterliegenden quadratischen Matrix erfasst werden. Hat der Absender seinen Text in die Schablonenlöcher geschrieben, übergibt er die Schablone zur Entzifferung der geheimen Botschaft dem Empfänger. In der Regel wird hierfür ein 6x6 Quadrat und eine deckungsgleiche Schablone mit 9 Löchern verwendet. Dies ermöglicht die Verschlüsselung eines Textes mit 36 Buchstaben. Will man jedoch einen größeren Text verschlüsseln, kann das Quadrat dementsprechend erweitert werden (7x7, 8x8, 9x9 Quadrat etc.). Auch kleinere Quadratgrößen sind erlaubt.


Zusammenhang Fleißner-Schablone und Exponat

Es ist anzunehmen, dass sich ein verstecktes Fleißner-Quadrat innerhalb der kreisförmigen Matrix befindet. Demzufolge liegt folgende Vermutung nahe: Die zur Verschlüsselung des Textes notwendigen Buchstaben werden im Rahmen dieses Quadrats niedergeschrieben. Demzufolge sind alle außerhalb dieses Quadrats vorkommende Buchstaben sogenannte Blender bzw. zufällige Buchstaben, welche zur Entschlüsselung des Geheimtextes keinen Beitrag leisten. Insofern können diese beim Drehen von den Löchern der Schablone nicht sinnvoll erfasst werden.

Beispiel[Bearbeiten]

Folgende Darstellung veranschaulicht die Verschlüsselung des Satzes „Wir alle sind hervorragende Codeknacker !“

Beispiel Fleissner-Schablone.png

Mögliche Fragen der Teilnehmer[Bearbeiten]

Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es, eine Schablone zu erzeugen ? An welchen Stellen müssen die Löcher angebracht sein, damit die Nachricht entschlüsselt werden kann ? Wie lang darf die verschlüsselte Nachricht maximal sein ?

Lernzuwachs der Teilnehmer[Bearbeiten]

Die Teilnehmer lernen, wie mithilfe eines Transpositionsverfahrens geheime Nachrichten ver- und entschlüsselt werden.

Die vier Geheimcodes[Bearbeiten]

Das Exponat enthält die folgenden vier Sätze :

  • Geheimcodes machen viel Spass
  • Gratuliere du hasts geschafft
  • Du brauchst den richtigen Dreh
  • Meistens ergibt sich nur Chaos

Historischer Hintergrund[Bearbeiten]

Der Arzt und Mathematiker (1501-1576) Gerolamo Cardano hatte ursprünglich die Idee, eine Botschaft in einem Text zu verstecken. Dazu fertigte er eine Schablone an und schnitt Löcher derart hinein, so dass nur noch die entscheidenden Worte der Botschaft zu sehen waren. Um diese Worte herum schrieb er dann den einfachen Text. Auf diese Weise konnte man alle unwichtigen Worte mit der Schablone abdecken, welche zur Entschlüsselung an den Empfänger der geheimen Nachricht ausgehändigt wurde. Trotz seiner Umständlichkeit wurde Cardanos Systembis ins 17. Jhd. von europäischen Regierungen zur Nachrichtenübermittlung eingesetzt. Der österreichische Oberst Eduard Fleißner von Wostrowitz hatte dieses Verfahren 1881 in seiner Abhandlung „Neue Patronengeheimschrift“ veröffentlicht. Demzufolge wurde das Verschlüsselungsverfahren als Fleißner-Verfahren benannt. 1885 wurde das Fleißnersche Verschlüsselungsverfahren in dem Roman „Mathias Sandorf“ des französischen Schriftstellers Jules Verne erwähnt. Ein Mann namens Sarcany nahm einer Brieftaube eine an drei Verschwörer gerichtete Nachricht ab und versuchte diese zu entschlüsseln. Die Entschlüsselung gelang mittels der unten rechts gezeigten Schablone, mit deren Hilfe er die Zeichenfolgen bestimmen konnte.

Fleissner-Schablone.png

Dabei schrieb Sarcany die gesamte 1. Spalte der geheimen Nachricht gemäÿ der Abbildung unten links auf und legte die Schablone (rechte Abbildung) darüber. Anschlieÿend drehte er bei allen drei Spalten die Schablone jeweils um 90 Grad.

Fleissner-Schablone2.png

Beim Notieren der Zeichenketten erhielt er folgende Ergebnisse:

1.Spalte hazrxeirg nohaledec nadnepedn ilruopess

2.Spalte amnetnore velessuot etseirted zerrevnes

3.Spalte uonsuoveu qlangisre imerpuate rptsetuot

Nachdem Sarcany diese Zeichenfolge erhalten hatte, reihte er sie in der gleichen Reihenfolge hintereinander auf und bekam die folgende Zeichenkette :


Hazrxeirgnohaledecnadnepednilruopessamnetnorevelessuotetseirtedzerrevnesuonsuoveuqlangisreimerpuaterptsetuot


Er erkannte, dass diese Zeichenfolge im Französischen rückwärts gelesen einen sinnvollen Text ergab:

"Tout est prêt. Au premier signal que nous nous enverrez de Trieste, tous se leveront en masse pour l'indépendance de la Hongrie. Xrzah."

Mathematischer Hintergrund[Bearbeiten]

Wie viele Löcher muss eine Schablone haben ?

Eine optimale Fleißner-Schablone weist auch immer die maximal mögliche Anzahl von Löchern auf. Bei einer Schablone der Größe 6x6 entspricht dies 9 Löchern, d.h. jede Zahl von1 bis 9 wird nur einmal freigelegt. Zeigt die Schablone weniger Löcher auf, ergeben sich freie Felder im Geheimtext. Die Anzahl der maximal möglichen Löcher ergibt sich immer aus der jeweiligen Schablonengröße bzw. der gesamten Anzahl der Felder. So verfügt eine 8x8 Schablone über insgesamt 82 = 64 Felder. Teilt man diese Felderanzahl wegen der vier Drehungen durch vier, ergeben sich 64 : 4 = 16 maximal mögliche Löcher.


Wie viele verschiedene solcher Schablonen sind eigentlich möglich ?

In der Regel hängt dies zunächst von der Schablonengröße ab. Jedes Feld eines 6x6 Quadrats wird mit einer Zahl von 1-9 nummeriert, wobei jede Zahl exakt viermal vorkommt. Folglich ergeben sich 4 Möglichkeiten, das Feld Nummer 1 auszustanzen. Gleiches gilt für Feld Nummer 2, Nummer 3 und alle anderen Felder. Dementsprechend haben wir letztlich 49 = 262.144 verschiedene Möglichkeiten, eine solche Schablone herzustellen. Wählt man die Schablone entsprechend größer (8x8) oder kleiner (4x4), so resultieren daraus auch mehr (416) oder weniger (44) verschiedene Möglichkeiten.

Quellen[Bearbeiten]

[1] [2] [3] [4] [5] [6]

[7]

  1. https://de.wikipedia.org/wiki.Fleißnersche_Schablone
  2. http://www.mathe.tu-freiberg.de/hebisch/Praktikum10-2/Gitter-Verfahren/Gitter-Verfahren.html
  3. deacademic.com/dic.nsf/dewiki/447096
  4. Wie man in eine Seifenblase schlüpft: Die Welt der Mathematik in 100 Experimenten, Kapitel 6, Albrecht Beutelspacher
  5. kryptografie.de/kryptografie/chiffre/Fleissner.htm
  6. www.ziegenbalg.ph-karlsruhe.de/.../Wissenschaftliche-Hausarbeit-Connette-w.pdf
  7. www.pdfkurs.com/Download_PDF_6.php?...geheimschriften