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Der Turm von Ionah

Themenbereich

Welche Themen werden in diesem Exponat behandelt?

• Kombinatorik
• Induktionsprinzip

Kurzbeschreibung des Exponates

Wie kann das geplante Exponat kurz beschrieben werden?

Das Exponat: Der Turm von Ionah

Das Exponat besteht aus fünf kreisförmigen Scheiben, die jeweils unterschiedliche Größen besitzen. Dabei handelt es sich abwechselnd um rote und blaue Scheiben. Des Weiteren besteht das Exponat aus einem Tisch mit drei gleichgearteten trichterförmigen Löchern, wo alle Scheiben hinein passen. Die kleinste Scheibe nach ganz unten gehört, und die größte Scheibe nach ganz oben. Zu Beginn des Experiments liegen alle Scheiben in demselben Loch: dadurch bilden die fünf Scheiben einen nach unten gerichteten Turm.

Zentrale Aufgaben bzw. Arbeits­aufträge in der "Lernumgebung" des Exponates

Welche Aufgabe/Aufgaben bzw. Arbeitsaufträge stehen im Zentrum des Exponates?

Die Aufgabe besteht darin, den Turm in eines der zwei anderen Löcher umzusetzen.

• Es darf immer nur eine Scheibe bewegt werden.
• Es darf nie eine kleinere Scheibe auf einer größeren Scheibe liegen.

Material-Raum-Arrangement

Welches Material wird benötigt? Welche Arbeitsblätter werden verwendet? Wie muss die "Tischsituation" vorbereitet sein?

Kreisförmiger Tisch mit den fünf kreisförmigen Scheiben, die jeweils unterschiedliche Größen besitzen.

Dauer

Wie lange beträgt die Dauer des Exponats?
Die Dauer variiert von Schüler zu Schüler, da dieses Exponat nicht für jeden Schüler den gleichen Schwierigkeitsgrad darstellt. Nichtsdestotrotz sollte jeder Schüler in der Lage sein das Exponat innerhalb von $10$ Minuten erfolgreich zu meistern.

Strategie

Welche Strategie kann man bei diesem Exponat anwenden?

Die Strategie bei diesem Exponat besteht darin, dass die Schüler nie zwei gleichfarbige Scheiben übereinander legen sollen. Die Schüler sollten zuerst die Anzahl auf $3$ Scheiben reduzieren (man benötigt dafür $7$ statt $31$ Züge).

Mathematischer Gehalt

Wie kann der mathematische Gehalt des geplanten Exponates beschrieben werden?

Das Induktionsprinzip ist der mathematische Teil, der hinter diesem Exponat steckt. Dank des Induktionsprinzips, kann man die folgende verallgemeinerte Aussage mit n Scheiben beweisen:

Sei $n\in \mathbb {N} _{\geq 2}$. Für das Umsetzen von n Scheiben benötigt man $2^{n}-1$ Züge.

Beweis: Der Induktionsanfang ($2$-Scheiben-Problem) wurde schon analysiert (siehe Beispiele). Für den Induktionsschritt( $n\rightsquigarrow n+1$) wissen wir, dass für das Umsetzen von $n$ Scheiben man $2^{n}-1$ Züge benötigt. Nehmen wir an, dass alle ($n+1$) vorhandenen Scheiben im Trichter A sind. Um die ($n+1$) Scheiben umzusetzen, legen wir zunächst die $n$ obersten Scheiben von A nach C ($2^{n}-1$ Züge). Dann legen wir die unterste Scheibe von A nach B. Schließlich legen wir (wieder mit $2^{n}-1$ Zügen) die obersten $n$ Scheiben von C nach B. Insgesamt ist die Anzahl der Züge $(2^{n}-1)+1+(2^{n}-1)=2^{n+1}-1$.

Beispiele

• $2$ Scheiben-Problem: Nehmen wir an, dass die zwei vorhandenen Scheiben im Trichter A sind. Wir legen zunächst die oberste Scheibe von A nach C und dann die zweite Scheibe von A nach B. Schließlich müssen wir nur noch die große Scheibe von C nach B legen, sodass sich der Turm nun im Trichter B befindet. Insgesamt benötigten wir drei Züge.
• $3$ Scheiben-Problem: Nehmen wir an, dass die drei vorhandenen Schei- ben im Trichter A sind. Wir legen zunächst die oberste (d.h. die größte) Scheibe von A nach B und dann die zweite (d.h. die mittlere) Scheibe von A nach C. Daraufhin legen wir die größte von B nach C und dann die unterste (d.h. die kleinste) Scheibe von A nach B. Schließlich legen wir die oberste Scheibe von C nach A, die mittlere von C nach B und dann die größte von A nach B. Insgesamt benötigten wir sieben Züge.

Welche Teilnehmer sollen angesprochen werden?

Gibt es einen speziellen Adressatenkreis des Exponates?

Das Exponat erfordert kein mathematisches Vorwissen, um in der Lage zu sein das Experiment erfolgreich durchführen zu können. Da dieses Exponat einen Themenbereich aus der «höheren Mathematik» behandelt und die meisten Schüler das Induktionsprinzip während ihrer Schullaufbahn noch nicht kennengelernt haben, sind Sie nicht vollständig in der Lage die Mathematik hinter diesem Exponat zu verstehen. Nichtsdestotrotz ist es für Schüler aus den oberen Klassenstufen möglich mit Hilfe des Lehrers sich mit der Thematik auseinanderzusetzen. Insbesondere kann man die Anzahl der Scheiben am Anfang reduzieren und diese dann kontinuierlich im Laufe der Zeit steigern, damit die Schüler den mathematischen Teil anhand von konkreten Beispielen erkennen und verstehen. Wenn man sich nun bei der Bestimmung der Zielgruppen auf das Induktionsprinzip bezieht, sind folgendermaßen die obersten Klassenstufen und Mathematik begeisterten Studenten die Zielgruppen des Exponats. Wenn man sich jedoch bei der Bestimmung der Zielgruppen nicht auf die Mathematik des Exponats bezieht, gibt es keine bestimmte Zielgruppe.

Wie viele Züge brauchst Du, um die obersten drei Scheiben umzusetzen?

Antwort: $7$ Züge (siehe $3$ Scheiben-Problem <<unter der Rubrik <<Beispiele>>)

Historischer Hintergrund

Dieses Exponat ist eine Variante von «Der Turm von Hanoi»: die Scheiben bei jenem sind so geordnet, dass die größere unten und die kleineren oben liegen («Ionah» ist das Wort «Hanoi», von hinten nach vorne gelesen).

"Lernzuwachs" der Teilnehmer

Welche mathematische Einsichten (Aha-Erlebnisse der Teilnehmer) können während der Situation gewonnen werden?

Stolpersteine im Verlauf der Situation

Welche inhaltlichen und organisatorischen Stolpersteine können während der Situation auftreten?