Die Würfelschlange

Kurzbeschreibung des Exponates

Themenbereich des Exponats

Das Exponat behandelt die Themen Zufall und Wahrscheinlichkeitsrechnung

Wie kann das geplante Exponat kurz beschrieben werden?

Ein überraschendes Würfelspiel, bei dem die Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung für den Effekt ausgenutzt werden.

Das Exponat besteht aus 40 Würfeln.

1. Würfele mit allen Würfeln gleichzeitig.

2. Lege sie in eine Linie oder eine Schlange, es ist nur wichtig, dass ein Würfel nach dem anderen kommt.

3. Nun kommt der erste Durchgang: Schau dir den ersten Würfel an. Dieser zeigt zum Beispiel eine Zwei. Dan gehst du zwei Würfel weiter und landest in diesem Fall beim dritten Würfel. Nun schaust du, welche Augenzahl der dritte Würfel zeigt und gehst um genau diese Anzahl von Würfeln weiter. Dieses Verfahren wiederholst du so oft, bis du zu einem Würfel kommst, dem nicht mehr genug Würfel folgen, die du abzählen kannst. Zum Beispiel, wenn du zum drittletzten Würfel gelangst und dieser zeigt eine Drei. Da nur noch zwei Würfel nach diesem Würfel kommen, kannst du unsere Methode nicht fortsetzen.

4. Du nimmst nun die überschüssigen Würfel weg. In dem Beispiel davor würdest du also die zwei letzten Würfel entfernen.

5. Kommen wir nun zum zweiten Durchgang. Nehme den ersten Würfel der Schlange und würfele ihn noch einmal. Lege ihn nun wieder vorne an die Schlange und wiederhole das vorher erklärte Verfahren. Du wirst sehr wahrscheinlich feststellen, dass du wieder genau auf dem letzten Würfel der Schlange ankommst.

6. Ist das nur Zufall? Wiederhole den 5. Schritt noch einmal und schaue, ob sich das Ereignis noch einmal ereignet.

Dauer des Exponats

Das Exponat benötigt mindestens 5 Minuten, bestenfalls mehr Zeit.

Anmerkungen zum Exponat

Wird das Experiment mit weniger Würfel durchgeführt, wird der Effekt vielleicht nicht auftreten. Es besteht auch stets die Möglichkeit, dass der Trick nicht funktioniert.

Ist das Exponat geeignet für Einzel/Gruppenarbeit?

Das Exponat eignet sich eher für Einzel- als für Gruppenarbeit.

Mehr Hintergrundinformationen

Strategie

Es wird keine Strategie benötigt für dieses Exponat.

Zielgruppe

Das Exponat ist für jede Altersgruppe geeignet.

Zusätzliche Fragen zu diesem Exponat

Durch das Stellen weiterer Fragen können andere Reflektionen beim Bearbeiter des Exponats hervorgerufen werden, zum Beispiel:

• Wie lässt sich der Trick erklären? Mögliche Schülerantwort: Wir landen früher oder später wieder auf einem Würfel aus dem ersten Durchgang, und ab dem Würfel wiederholt sich der erste Durchgang wieder, das heiÿt wir landen auch auf den restlichen Würfeln des ersten Durchgangs.

• Was passiert, wenn jeder Würfel der Schlange eine Sechs ist? Antwort: Der Trick funktioniert nicht.

• Wie verändert sich die Wahrscheinlichkeit auf dem letzten Würfel zu landen, wenn wir mehr oder weniger Würfel benutzen? Antwort: Mehr Würfel = höher die Wahrscheinlichkeit.

Mathematik hinter dem Exponat

Dieser Effekt wird klar durch die Wahrscheinlichkeitsrechnung. Lass uns jeden Würfel, auf dem wir im ersten Durchgang landen, markieren (man kanns sie einfach etwas aus der Reihe schieben). Da die höchste Zahl, die ein Würfel zeigen kann, eine Sechs ist, muss in den sechs Würfeln, die einem markierten Würfel folgen, mindestens ein markierter Würfel sein. Also spätestens der sechste Würfel muss wieder markiert sein. Startet man also mit einer anderen Augenzahl beim ersten Würfel, so beträgt bei jedem Schritt die Wahrscheinlichkeit, auf einem markierten Würfel zu landen, mindestens ${1 \over 6}$ , damit ist die Wahrscheinlichkeit, auf einem nicht-markierten Würfel zu landen, höchstens ${5 \over 6}$ . Sollten wir wieder auf einem markierten Würfel landen, werden wir auch auf den folgenden markierten Würfeln landen, da sich der Vorgang ab diesem Würfel wiederholt wie beim ersten Durchgang, und wir landen natürlich wieder auf dem letzten Würfel. Bei 40 Würfeln, haben wir mindestens 6 markierte Würfel. Die Mindestwahrscheinlichkeit, dass wir wieder auf dem letzten Würfel landen, lässt sich dann wie folgt berechnen:

$1-\left({\tfrac {5}{6}}\right)^{6}=1-{\frac {15625}{46656}}={\frac {31031}{46656}}\cong 66{,}5\%$

Es gibt aber auch einen Weg um eine Abschätzung nach oben zu erhalten: Der erste Würfel der Schlange zeigt eine andere Augenzahl an. 3,5 Würfel kommt man im Mittel mit jedem Schritt weiter, d. h. etwa 11 Schritte werden im Mittel bis zum Ende der Schlange benötigt. Man landet also mit einer Wahrscheinlichkeit von ${\frac {1}{3{,}5}}={\frac {2}{7}}$ auf einem markierten und mit einer Wahrscheinlichkeit von $1-{\frac {2}{7}}={\frac {5}{7}}$ auf einem nicht-markierten Würfel, da 3,5 Würfel auch beim ersten Durchgang die mittlere Schrittlänge waren. Dadurch kann man errechnen, dass die Wahrscheinlichkeit am Ende der Schlange wieder auf demselben Würfel zu landen höchstens

$1-\left({\tfrac {5}{7}}\right)^{11}=1-{\frac {48828125}{1977326743}}={\frac {1928498618}{1977326743}}\cong 98\%$

beträgt.

Quellen

Für weitere Informationen und Arbeitsblätter empfehlen wir folgende Quelle:

http://www.gymnasiumkoenigsbrunn.de/mathe-zum-anfassen/articles/wuerfelschlange.html