Lights on!

Themenbereich

Welche Themen werden in diesem Exponat behandelt?

Kombinatorik
Lineare Algebra

Kurzbeschreibung des Exponates

Wie kann das geplante Exponat kurz beschrieben werden?

Das Exponat besteht aus einem kreisförmigen Tisch, auf dem man sieben im Kreis angeordnete Lampen und sieben den Lampen zugeordnete Schalter wiederfindet. Die Lampen können entweder an oder aus sein. Jedoch sind nicht unbedingt alle Lampen gleichzeitig an oder aus. Dadurch findet der Schüler einen beliebigen Ausgangszustand der Lampen am Anfang des Experimentes wieder. Wenn man jedoch eines der sieben Schalter betätigt, ändert die dazugehörige Lampe, sowie die links und rechts daneben liegende, ihren Zustand von an zu aus oder umgekehrt.

Zentrale Aufgaben bzw. Arbeitsaufträge in der "Lernumgebung" des Exponates

Welche Aufgabe/Aufgaben bzw. Arbeitsaufträge stehen im Zentrum des Exponates?

Die Aufgabenstellung dieses Exponats ist kinderleicht und zieht dadurch jeden Schüler sofort in seinen Bann. Die Aufgabe besteht darin, alle sieben Lampen mit der geringst möglichen Anzahl an Schalterbetätigungen, zeitgleich zum Leuchten zu bringen. Das Ziel des Experiments ist es also, wie der Titel «Lights on» schon sagt, alle Lampen zum Leuchten zu bringen.

Material-Raum-Arrangement

Welches Material wird benötigt? Welche Arbeitsblätter werden verwendet? Wie muss die "Tischsituation" vorbereitet sein?

Kreisförmiger Tisch mit $7$ Lampen.

Dauer

Wie lange beträgt die Dauer des Exponats?
Die Zeitdauer variiert von Schüler zu Schüler, da jeder Schuler auf seine eigene Art und Weise an das Experiment herangeht. Während einige Schüler versuchen eine Strategie zu entwickeln, stürzen sich andere Schüler ohne eine bestimmte Strategie auf das Experiment, in der Hoffnung die Lösung zufällig zu finden. Nichtsdestotrotz kann man von einer Zeitdauer von $10$ Minuten ausgehen.

Strategie

Welche Strategie kann man bei diesem Exponat anwenden?

Während einige Schüler versuchen eine Strategie zu entwickeln, stürzen sich andere Schüler ohne eine bestimmte Strategie auf das Experiment, in der Hoffnung, die Lösung zufällig zu finden. Die Schüler können die Schalter der Lampen so betätigen, dass sie eine der folgenden zwei Situationen wiederfinden:

$4$ nacheinanderfolgende Lampen sind an, und die anderen $3$ Lampen sind aus (es reicht eine Schalterbetätigung).
$1$ Lampe ist an, und die $1$ anderen Lampen sind aus (es reichen zwei Schalterbetätigungen).
alle Lampen sind aus (es reicht, alle sieben Schalter zu betätigen).

Jeder Schalter einer bestimmten Lampe muss höchstens einmal betätigt werden, da man den Anfangszustand der Lampe vorfindet, wenn man den gleichen Schalter zweimal betätigt. Die höchstmögliche Anzahl an gedrückten Schaltern während eines Versuches lautet daher $7$ (zu dieser Anzahl an Schalterbetätigungen kommt es, wenn alle $7$ Lampen zu Beginn des Experiments aus sind).

Mathematischer Gehalt

Wie kann der mathematische Gehalt des geplanten Exponates beschrieben werden?

Wieviele Schalter muss man höchstens betätigen?

Modellierung mit Vektoren

Man hat $7$ Koordinaten, die Möglichkeiten dafür sind $0$ und $1$ .
Der Effekt eines Schalters ist $+1$ an drei Koordinaten zu addieren:

$0+1=1\qquad 1+1=0$

Effekt der Behrührung eines Schalters

Allgemeine Lösung

Man muss ein lineares Gleichungsystem mit $7$ Veränderlichen über den Körper mit zwei Elementen lösen.

Wenn die Anfangssituation durch den Vektor mit Koordinaten $A_{1}$ bis $A_{7}$ beschrieben wird, und die Zahlen $S_{k}\in \{0,1\}$ sind $1$ wenn der $k$ -te Schalter berührt wird, hat man:

$S_{k}=1\;-\sum _{i\not \in \{k+2,k-2\}}A_{i}$

Die Lösung ist eindeutig, da die sieben Schalter-Vektoren linear unabhängig sind.

Mit anderen Worten: Wenn man eine Teilmenge der Schalter betätigt, bekommt man verschiedene Konfigurationen für verschiedenen Teilmengen.

Man findet alle Möglichkeiten: Die Anzahl der Teilmengen der Schalter ist gleich der Anzahl der Konfigurationen.

Hinweise

Die folgenden Hinweise können den Schülern dazu dienen eine Idee zu bekommen, wie oft man die Schalter der Lampen betätigen muss, um alle $7$ Lampen zum Leuchten zu bringen:

Jeder Schalter einer bestimmten Lampe muss höchstens einmal betätigt werden, da man den Anfangszustand der Lampe vorfindet, wenn man den gleichen Schalter zweimal betätigt.
Die höchstmögliche Anzahl an gedrückten Schaltern während eines Versuches lautet $7$ . Zu dieser Anzahl an Schalterbetätigungen kommt es, wenn alle $7$ Lampen zu Beginn des Experiments aus sind. Man muss also die $7$ Schalter, jeweils einmal betätigen, wenn alle Lampen am Anfang aus sind.

Welche Teilnehmer sollen angesprochen werden?

Gibt es einen speziellen Adressatenkreis des Exponates?

Das Exponat erfordert kein mathematisches Vorwissen um in der Lage zu sein das Experiment erfolgreich durchführen zu können. Jedoch bietet dieses ausgesprochen spielerische Experiment einen zwanglosen Zugang zur «höheren Mathematik». Insbesondere kann man das mathematische Konzept hinter diesem Exponat den Schülern auf zwei verschiedene Arten und Weisen erläutern. Wegen den zwei verschiedenen Vorgehensweisen, unterscheiden wir zwischen den folgenden zwei Zielgruppen:

Die unteren Klassenstufen: Die Schüler der unteren Klassenstufen sind in der Lage die Darstellung der Zustände der Lampen als Folgen von Bits zu verstehen. Des Weiteren stellt das Addieren der verschiedenen Zustandstupel kein Hindernis für Sie da.
Die oberen Klassenstufen: Die Schüler der oberen Klassenstufen besitzen ein mathematisches Vorwissen über Vektoren und lineare Gleichungssysteme. Dadurch sind Sie in der Lage die Zustände der Lampen als $7\cdot 1$ Vektoren darzustellen. Mit der Hilfe des Lehrers, können Sie das vorgegebene lineare Gleichungssystem (siehe Rubrik «Mathematik») lösen und sich auch mit dem Körper $\mathbb {Z} _{2}$ auseinandersetzen. Die weniger leistungsfähigen Schüler können sich auch mit der Darstellung der Zustände der Lampen als Folgen von Bits auseinandersetzen, wenn ihr Vorwissen über Vektoren und lineare Gleichungssysteme nicht ausreichend ist.

Wichtige Aspekte und Überlegungen zur Durchführung

Wie wird die Eingangssituation gestaltet? Wie ist der weitere Verlauf?

Welche Sozialform wird verwendet? Gibt es eine Arbeitsphase?

Wie wird die Schlusssequenz im Sinne einer gemeinsamen Reflexion mit den Teilnehmern gestaltet?

Welche Impulse/Fragen begleiten die einzelnen Phasen des Interagierens mit dem Exponat?

In welcher Situation reicht es, einen Schalter zu drücken, um alle Lampen anzuschalten?

Antwort: Wenn $4$ aufeinanderfolgende Lampen an sind und die restlichen $3$ Lampen aus sind.

In welchen Situationen braucht man zwei Schalter?

Antwort: Wenn $3$ Lampen an sind und davon $2$ aufeinanderfolgen. In Form von Bits ausgedrückt, sind es die folgenden Situationen:

$(1,0,0,1,1,0,0)$
$(0,0,1,0,0,1,1)$
$(0,0,1,1,0,0,1)$
$(1,1,0,0,1,0,0)$
$(1,0,0,1,0,0,1)$
$(0,1,1,0,0,1,0)$

Historischer Hintergrund

Bei der Entwicklung dieses Exponats, haben sich die Verantwortlichen des Mathematikums bei dem Spiel «Lights out!» inspiriert. Hierbei handelt es sich um ein Spiel, das seit 1995 vertrieben wird. Es besteht aus einem $5\times 5$ Gitter von Leuchten. Im Vergleich zum Exponat «Lights on!», ist jede Leuchte auch ein Schalter. Wenn man diesen drückt, ändert sich der Zustand dieser Leuchte und der vier benachbarten Leuchten. Wie der Titel schon verrät, ist das Ziel dieses Spiels alle Leuchten zum Erlöschen zu bringen. Im Jahre $2002$ , feierte das Exponat «Lights on!» seine Premiere im Mathematikum.

"Lernzuwachs" der Teilnehmer

Welche mathematische Einsichten (Aha-Erlebnisse der Teilnehmer) können während der Situation gewonnen werden?

Stolpersteine im Verlauf der Situation

Welche inhaltlichen und organisatorischen Stolpersteine können während der Situation auftreten?