Rote Würfel raus!

Dieses Exponat behandelt die Themenbereiche der Exponentialfunktion und des Zufallsversuches.

Kurzbeschreibung des Exponates

Das Exponat besteht aus einem Spielbrett, 40 Würfeln und einem Würfelbecher.

Das Spielbrett ist in mehrere vertikale Spalten unterteilt und eine rote Kurve ist aufgezeichnet. Die Würfel haben alle zwei rot und vier blau eingefärbte Seiten.

Der Spielablauf ist simpel:

Es wird mit allen Würfel zeitgleich gewürfelt. Alle Würfel, die eine rote Oberseite haben, werden aussortiert und in die erste Spalte des Spielbrettes gelegt. Die blauen Würfel werden wieder in den Würfelbecher gelegt.
Mit den restlichen Würfel wird zeitgleich gewürfelt und alle Würfel mit einer roten Oberseite werden erneut aussortiert und in die zweite Spalte gelegt.
Dieses Spielmuster wird weitergeführt, bis keine blauen Würfel mehr vorhanden sind. Wenn in einem Wurf kein Würfel eine rote Oberseite zeigt, wird erneut gewürfelt, jedoch wird die dem Wurf entsprechende Spalte im Spielbrett übersprungen, sie bleibt leer.

Hinweise zur Durchführung des Exponates

Das Spiel dauert etwa 5 Minuten.
Wenn man will, dass jeder Schüler/ jede Gruppe das Exponat ganz durchführt, müssen die Würfel nach dem Spiel wieder aus dem Spielbrett entfernt werden.
Das Exponat eignet sich sehr gut als Gruppenarbeit, kann jedoch auch alleine entdeckt werden.
Da es ein Zufallsversuch ist, gibt es keine Strategie.
Das Ergebnis nach einem Spieldurchgang weicht oft deutlich von der vorgegebenen roten Kurve ab. Wird das Exponat jedoch mehrere Male durchgespielt und der Durchschnitt berechnet, so nähert sich der Durchschnittswert immer mehr der vorgezeichneten Kurve.
Als Variation des Exponates bietet es sich bei oberen Klassenstufen an, dass die Schüler das Experiment nicht sofort durchführen, sondern die theoretische Modellierung durcharbeiten und dann das Exponat als Bestätigung des Models sehen.

Anmerkungen, Fragen, Aufgaben

Im Bezug zu diesem Exponat bietet es sich an, über Exponentialfunktionen im Alltag zu sprechen, wie zum Beispiel:

Wachstumsvorgänge, wobei die Grundmenge pro Zeiteinheit um den gleichen Anteil wächst: Bakterienwachstum, Zinsen

Radioaktivität: Bei radioaktiven Substanzen gibt es eine sogenannte "Halbwertszeit ", die Zeitspanne, nach der eine mit der Zeit abnehmende Grundmenge die Hälfte des anfänglichen Werts erreicht hat. Folgt diese Abnahme einem Exponentialgesetz, ist die Halbwertszeit immer gleich, sie ist unabhängig von der Grundmenge. Das bedeutet, dass es zum Beispiel genauso lange von der Ausgangsmenge bis zur Hälfte dauert als von der Hälfte bis zu einem Viertel.

Hier finden Sie einige Fragen, die als Denkanstoß bei höheren Klassenstufen in Bezug auf das Exponat gestellt werden können:

Was wäre, wenn man mit 60 Würfeln spielen würde?

Antwort:

$f(x)=30\cdot \left({\frac {2}{3}}\right)^{x}$

Wen 3 anstelle von 2 der 6 Seiten der Würfel rot wären, wie würde dann die Formel und die Darstellung der Funktion aussehen? Antwort:

$f(x)=40\cdot \left({\frac {1}{2}}\right)^{x}$

Berechnen Sie die Halbwertszeit der Exponentialfunktion. Antwort: Da $f(0)=20\cdot \left({\frac {2}{3}}\right)^{0}=20$ gilt es, folgende Gleichung zu lösen:

${\begin{array}{crcl}&f(x)&=&10\\\Leftrightarrow &20\cdot \left({\frac {2}{3}}\right)^{x}&=&10\\\Leftrightarrow &\cdot \left({\frac {2}{3}}\right)^{x}&=&{\frac {1}{2}}\\\Leftrightarrow &e^{x\cdot \ln \left({\frac {2}{3}}\right)}&=&e^{-\ln(2)}\\\Leftrightarrow &x&=&{\frac {\ln(2)}{\ln \left({\frac {3}{2}}\right)}}\approx 1,7\end{array}}$

Mathematik

Da jeder Würfel zwei rote und vier blaue Seiten hat und es sich um ehrliche Würfel handelt, liegen die Wahrscheinlichkeiten, dass die Oberseite rot beziehungsweise blau ist bei ${\textstyle {\frac {1}{3}}}$ beziehungsweise ${\textstyle {\frac {2}{3}}}$ .

Beim ersten Wurf ist also zu erwarten, dass ${\textstyle {\frac {1}{3}}}$ der Würfel rot und ${\textstyle {\frac {2}{3}}}$ der Würfel blau sein werden. Da mit 40 Würfeln gespielt wird, werden beim ersten Wurf ${\textstyle {\frac {1}{3}}\cdot 40={\frac {40}{3}}\approx 13}$ rote und ${\textstyle {\frac {2}{3}}\cdot 40={\frac {80}{3}}\approx 27}$ blaue Würfel erwartet.

Beim zweiten Wurf werden die blauen Würfel des ersten Wurfs (im Schnitt ${\textstyle {\frac {80}{3}}\approx 27}$ ) erneut gewürfelt, wobei man erwartet, dass ${\textstyle {\frac {1}{3}}}$ der Würfel rot und ${\textstyle {\frac {2}{3}}}$ der Würfel blau sein werden, was also im Schnitt ${\textstyle {\frac {1}{3}}\cdot \left({\frac {2}{3}}\cdot 40\right)\approx 9}$ rote und ${\textstyle {\frac {2}{3}}\left({\frac {2}{3}}\cdot 40\right)=\left({\frac {2}{3}}\right)^{2}\cdot 40\approx 18}$ blaue Würfel entspricht.

Man kann die einzelnen Würfe und die jeweilig im Schnitt erwartete Anzahl an roten und blauen Würfeln in folgender Tabelle zusammenfassen:

Nach dem $n.$ Wurf ist zu erwarten, dass ${\textstyle \left({\frac {2}{3}}\right)^{n}\cdot 40}$ Würfeln im Würfelbecher liegen, während ${\textstyle {\frac {1}{3}}\cdot \left({\frac {2}{3}}\right)^{n-1}\cdot 40}$ rote Würfel bereits auf dem Spielbrett sind.

Die rote Linie auf dem Spielbrett, die die Höhe der Säulen aus den roten Würfel, ist demnach die Abbildung der Funktion des Durchschnittes an roten Würfeln pro Wurf. Diese Funktion entspricht:

$f(x)={\frac {1}{3}}\cdot \left({\frac {2}{3}}\right)^{x-1}\cdot 40=20\cdot \left({\frac {2}{3}}\right)^{x}$

Es handelt sich also um eine Exponentialfunktion. Da ihre Basis ${\textstyle {\frac {2}{3}}}$ beträgt und deshalb kleiner als 1 ist, ist die Funktion absteigend und nähert sich rasch der Zahl 0.

Quellen

Für weitere Informationen und Arbeitsblätter empfehlen wir folgende Quellen:

https://mug.didaktik-graz.at/Files/Mathematikum/Gruene-Wuerfel-raus.pdf
http://www.mathematikum.de/uploads/media/Zusatzmaterial_Lehrer_01.pdf
http://www.goethe.de/resources/files/pdf73/Begleitbroschre_Mathematik_zum_Anfassen.pdf