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Wer kommt am weitesten raus

Exponat: Wer kommt am weitesten raus

Kurzbeschreibung des Exponates

Wie kann das geplante Exponat kurz beschrieben werden?

Bei diesem Experiment kommt es darauf an, Steine so auf ein Podest aufzutürmen, dass ein Stein frei über dem Abgrund schwebt.

Die Mathematik dahinter

Wer kommt am weitesten raus?

Anfangs setzen wir einen Block, bestehend aus 5 säuberlich gestapelten Steinen, an die Kante des Podests.

Wenn man den ersten Stein so weit nach außen schiebt wie nur möglich, kommt man genau bis zur Hälfte des Steines raus.

Den zweitobersten Stein (mit dem obersten Stein drauf) kann man dann bis zu ${\frac {1}{4}}$ seiner Länge hinausschieben.

Der oberste Stein schwebt nun zu ${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}={\frac {3}{4}}$ über der Kante.

Der Stapel bleibt in Balance, da der zweitoberste Stein zu ${\frac {3}{4}}$ auf dem Podest bleibt.

Der drittoberste Stein lässt sich dann noch zu ${\frac {1}{6}}$ seiner Länge hinausschieben und der vierte zu ${\frac {1}{8}}$ und so weiter.

So kann man theoretisch feststellen, dass es mit 4 Steinen schon möglich ist, den obersten Stein ganz über dem Abgrund schweben zu lassen.

${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{8}}={\frac {12+6+4+3}{24}}={\frac {25}{24}}>1$

Praktisch klappt es mit 5 Steinen ganz gut.

Die Aufgabe kann natürlich auch ganz anders gelöst werden (z.Bsp. können einige Steine um 45 Grad gedreht werden).

Dieses Experiment findet man oft im Zusammenhang mit der harmonischen Reihe:

$1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}+...$

Die harmonische Reihe erhält man, indem man die vorherige Summe mit 2 multipliziert:

$2{\Big (}{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{8}}+...{\Big )}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}+...$

Gottfried Wilhelm Leibniz hat bewiesen, dass die harmonische Reihe divergiert (divergieren = größer als jede vorgegebene Zahl werden).

$1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{9}}+...$

$=1+{\frac {1}{2}}+{\Big (}{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}{\Big )}+{\Big (}{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{8}}{\Big )}+{\Big (}{\frac {1}{9}}+...{\Big )}$

$>1+{\frac {1}{2}}+{\Big (}{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4}}{\Big )}+{\Big (}{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}{\Big )}+{\Big (}{\frac {1}{16}}+...{\Big )}$

$=1+{\frac {1}{2}}+2\cdot {\frac {1}{4}}+4\cdot {\frac {1}{8}}+8\cdot {\frac {1}{16}}+...$

$=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}+...$

Die harmonische Reihe wird also größer als $1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}+...$und ist also größer als jede Zahl.