Parabel/Bogenlänge/Beispiel

Wir wollen die Länge der Standardparabel berechnen, also die Länge der durch

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto (t,t^{2}),$

gegebenen Kurve. Nach Fakt ist die Länge von ${}0$ nach ${}b$ unter Verwendung von Fakt gleich

${}{\begin{aligned}\int _{0}^{b}{\sqrt {1+4x^{2}}}\,dx&={\frac {1}{2}}\int _{0}^{2b}{\sqrt {1+u^{2}}}\,du\\&={\frac {1}{4}}{\left(u{\sqrt {1+u^{2}}}+\,\operatorname {arsinh} \,u\,\right)}|_{0}^{2b}\\&={\frac {1}{2}}b{\sqrt {1+4b^{2}}}+{\frac {1}{4}}\,\operatorname {arsinh} \,(2b)\,.\end{aligned}}$