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Partialbruchzerlegung/Q/1 durch (X^4+1)(X^2+1)/Aufgabe/Lösung

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a) Das Polynom ist für rationale (auch reelle) Zahlen stets positiv und besitzt daher keine Nullstelle. Nach Fakt ist es somit irreduzibel.

b) Über hat man die Faktorisierung

Die beiden Faktoren haben keine reelle Nullstelle, da stets positiv ist. Eine Zerlegung über würde zu der gegebenen Zerlegung über führen, wegen gehören aber nicht zu . Das Polynom ist also irreduzibel in .

c) Wir machen den Ansatz

Durch Multiplikation mit dem Hauptnenner führt dies auf

Also ist

und

Aus

folgt durch Addition der ersten beiden Gleichungen und damit

Aus

folgt

also

und aus

ergibt sich

und somit

Die Partialbruchzerlegung ist also