Partition/Verfeinerung/Surjektive Abbildung/Faktorisierung/Aufgabe

Es sei ${}M$ eine Menge, ${}P$ und ${}Q$ seien Partitionen mit zugehörigen surjektiven Abbildungen

$f\colon M\longrightarrow \{1,\ldots ,k\}$

bzw.

$g\colon M\longrightarrow \{1,\ldots ,m\}$

im Sinne von Bemerkung. Zeige, dass ${}P$ genau dann eine Verfeinerung von ${}Q$ ist, wenn es eine Faktorisierung von ${}g$ über ${}f$ gibt, wenn es also eine Abbildung

$h\colon \{1,\ldots ,k\}\longrightarrow \{1,\ldots ,m\}$

mit ${}g=h\circ f$

gibt.

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