Peano-Axiome/Erststufig/Textabschnitt

Wir betrachten zwei erststufige Varianten der Dedekind-Peano-Axiome. Dabei wird in der ersten Variante die Nachfolgerfunktion beibehalten und das Induktionsaxiom, das oben für beliebige Teilmengen formuliert wurde, wird durch ein Induktionsaxiom für die in der Sprache erster Stufe formulierbaren Ausdrücke ersetzt. Das Induktionsaxiom gilt somit lediglich für Teilmengen, die in der gegebenen Sprache charakterisierbar sind. Man spricht vom Induktionsschema, da es sich nicht um ein einzelnes Axiom handelt, sondern um eine ganze Familie von Axiomen.

Axiom

Die Peano-Axiome für die Nachfolgerfunktion in der ersten Stufe werden (in der Sprache $L$ zur Symbolmenge mit einer Konstanten $0$ und einem einstelligen Funktionssymbol $N$) folgendermaßen definiert.

1. $\mathrm{\forall }x(\mathrm{\neg }(Nx=0))$.
2. $\mathrm{\forall }x\mathrm{\forall }y((Nx=Ny)\to (x=y))$.
3. Für jeden Ausdruck $\alpha$ von $L$ mit einer freien Variablen $x$ gilt

   $\alpha \frac{0}{x}\wedge \mathrm{\forall }x(\alpha \to \alpha \frac{Nx}{x})\to \mathrm{\forall }x\alpha .$

Aus der obigen zweitstufigen Formulierung der Axiomatik, die nur die Nachfolgerabbildung verwendet, kann man in jedem Modell in eindeutiger Weise eine Addition und eine Multiplikation definieren. Dafür ist das obige erststufige Axiomensystem zu schwach. Stattdessen werden wir unter der Peano-Arithmetik das folgende Axiomensystem verstehen, das mit zwei Konstanten $0$ und $1$ und zwei zweistelligen Operationen $+$ und $\cdot$ auskommt. Die Nachfolgerfunktion ist dann durch  $Nx=x+1$  definiert und es braucht dafür kein eigenes Funktionssymbol.

Axiom

Die Peano-Axiome für Addition und Multiplikation in der ersten Stufe werden (in der Sprache $L^{\mathrm{A}\mathrm{r}}$ zur Symbolmenge mit den beiden Konstanten $0$ und $1$ und zwei zweistelligen Funktionssymbolen $+$ und $\cdot$) folgendermaßen definiert.

1. $\mathrm{\forall }x(\mathrm{\neg }(x+1=0))$.
2. $\mathrm{\forall }x\mathrm{\forall }y((x+1=y+1)\to (x=y))$.
3. $\mathrm{\forall }x(x+0=x)$.
4. $\mathrm{\forall }x\mathrm{\forall }y(x+(y+1)=(x+y)+1))$.
5. $\mathrm{\forall }x(x\cdot 0=0)$.
6. $\mathrm{\forall }x\mathrm{\forall }y(x\cdot (y+1)=(x\cdot y)+x)$.
7. Für jeden Ausdruck $\alpha$ von $L^{Ar}$ mit einer freien Variablen $x$ gilt

   $\alpha \frac{0}{x}\wedge \mathrm{\forall }x(\alpha \to \alpha \frac{x+1}{x})\to \mathrm{\forall }x\alpha .$

Die Axiome $(1),(2)$ und $(7)$ entsprechen dabei direkt den Nachfolgeraxiomen von oben. Die Axiome $(3)$ und $(4)$ spiegeln die Grundregeln in der zweistufigen Peano-Arithmetik für die rekursive Definition der Addition wider, und die Axiome $(5)$ und $(6)$ entsprechen den Grundregeln für die rekursive Definition der Multiplikation. Diese Axiome gelten für die (zweitstufig festgelegten) natürlichen Zahlen. Anders als bei der obigen zweitstufigen Axiomatik gibt es aber von $\mathbb{N}$ verschiedene Modelle (nicht Standard-Arithmetiken), die die erststufige Peano-Arithmetik erfüllen. Dies ist aber kein „zufälliges“ Defizit der gewählten Axiomatik, sondern dahinter verbirgt sich eine grundsätzliche Schwäche der Sprache erster Stufe, die durch die Gödelschen Unvollständigkeitssätze präzisiert werden wird.