Peano-Axiome/Positiver Polynomring/Kein Induktionsschema/Bezout/Beispiel

Wir betrachten die Teilmenge

${}M\subseteq \mathbb {Z} [V]\,$

des Polynomrings in der Variablen ${}V$ über ${}\mathbb {Z}$, die aus dem Nullpolynom und allen Polynomen ${}P\in \mathbb {Z} [V]$ besteht, deren Leitkoeffizient zu ${}\mathbb {N} _{+}$ gehört. Die Menge ${}M$ umfasst die natürlichen Zahlen (als Polynome vom Grad ${}0$ mit nichtnegativem Leitkoeffizient) und sie ist abgeschlossen unter Addition und Multiplikation. Es gelten die erststufigen Peano-Axiome (1)-(6), wie man direkt sieht. Auch gilt die Vorgängereigenschaft, d.h. jedes von ${}0$ verschiedene Element besitzt einen eindeutigen Vorgänger (dies ist der Grund, warum wir abgesehen für den Leitkoeffizienten auch negative Koeffizienten zulassen), siehe Aufgabe. Dagegen gilt das erststufige Induktionsschema nicht, und die natürlichen Zahlen lassen sich als Teilmenge von ${}M$ erststufig charakterisieren. Zur Vereinfachung der folgenden Formulierung definieren wir die ${}\leq$-Relation durch

$x\geq y{\text{ genau dann, wenn }}\exists z(x=y+z)$

und die Eigenschaft, ein größter gemeinsamer Teiler ${}u$ von ${}x$ und ${}y$ zu sein, durch

$(u{|}x)\wedge (u{|}y)\wedge {\left((v{|}x)\wedge (v{|}y)\rightarrow v{|}u\right)}.$

Damit setzen wir

$\alpha (x)=\forall y((y\leq x)\rightarrow \forall u(u{\text{ ist GgT}}(x,y)\rightarrow \exists a\exists b\exists c\exists d(u+ax+by=cx+dy)))\,.$

Dies ist ein Ausdruck mit der einzigen freien Variablen ${}x$, der inhaltlich besagt, dass für jedes Element ${}y$ unterhalb von ${}x$ der größte gemeinsame Teiler von ${}x$ und ${}y$ als Linearkombination aus ${}x$ und ${}y$ darstellbar ist. Dieser Ausdruck gilt innerhalb der natürlichen Zahlen (also für ${}x\in \mathbb {N}$), es handelt sich um das Lemma von Bezout. Dagegen gilt sie in ${}M$ nicht, und zwar gilt sie dort nur für die natürlichen Zahlen. Für ein Polynom ${}x$ aus ${}M$ vom Grad ${}\geq 1$ kann man nämlich für ${}y$ eine Primzahl (aus ${}\mathbb {N}$) nehmen, die den Leitkoeffizienten von ${}x$ nicht teilt. Wegen ${}x=(x-y)+y$ ist auch ${}y\leq x$. Der größte gemeinsame Teiler von ${}x$ und ${}y$ ist dann ${}1$, doch die ${}1$ ist nicht als Linearkombination von ${}y$ und dem Polynom ${}x$ darstellbar (wenn man modulo ${}y$ geht, so verändert sich der Grad von ${}x$ nicht). Wir betrachten nun die Induktionsversion dieser Aussage, also

$\alpha {\frac {0}{x}}\wedge \forall x{\left(\alpha \rightarrow \alpha {\frac {x+1}{x}}\right)}\rightarrow \forall x\alpha .$

Der Vordersatz gilt in ${}M$, da die beschriebene Eigenschaft genau für die natürlichen Zahlen und für alle anderen Elemente nicht gilt, und daher genau dann gilt, wenn sie auch für den Nachfolger gilt (die echten Polynome sind nicht als Nachfolger von natürlichen Zahlen erreichbar). Da der Nachsatz nicht gilt, ergibt sich, dass die Gesamtaussage nicht gilt.