Peano-Halbring/Division mit Rest/Eindeutigkeit/Aufgabe/Lösung

Es gelte

$qd+r=q^{\prime }d+r^{\prime }$

mit

$0\le r,r^{\prime }<d.$

Ohne Einschränkung können wir  $q^{\prime }\ge q$  annehmen. Dann ist

$q^{\prime }=q+u$

mit einem $u\in M$ und somit ist

$qd+r=q^{\prime }d+r^{\prime }=(q+u)d+r^{\prime }=qd+ud+r^{\prime }.$

Aufgrund der Abziehregel ergibt sich

$r=ud+r^{\prime }.$

Bei  $u\ne 0$  ist  $u\ge 1$  nach Fakt. Dann ergibt sich der Widerspruch

$d=ud+r^{\prime }\ge ud\ge d$

wegen der Verträglichkeit der Ordnung mit der Multiplikation. (siehe Fakt). Also ist  $u=0$  und damit  $q^{\prime }=q$  und

 $r^{\prime }=r$. 

Zur gelösten Aufgabe