Peano-Halbring/Division mit Rest/Eindeutigkeit/Aufgabe/Lösung

Es gelte

{}qd+r=q'd+r'\,

mit

{}0\leq r,r'<d\,.

Ohne Einschränkung können wir ${}q'\geq q$ annehmen. Dann ist

{}q'=q+u\,

mit einem ${}u\in M$ und somit ist

{}qd+r=q'd+r'=(q+u)d+r'=qd+ud+r'\,.

Aufgrund der Abziehregel ergibt sich

{}r=ud+r'\,.

Bei ${}u\neq 0$ ist ${}u\geq 1$ nach Fakt. Dann ergibt sich der Widerspruch

{}d=ud+r'\geq ud\geq d\,

wegen der Verträglichkeit der Ordnung mit der Multiplikation. (siehe Fakt). Also ist ${}u=0$ und damit ${}q'=q$ und

{}r'=r

.