Peano-Halbring/Kürzungseigenschaften/Fakt/Beweis

Beweis

Seien  ${}x,y\in M$  fixiert. Wir betrachten die Aussage, dass für alle ${}z$ die angegebene Eigenschaft gilt, also dass aus  ${}x+z=y+z$  schon  ${}x=y$  folgt. Diese Eigenschaft ist erststufig formulierbar. Sie gilt für  ${}z=0$  nach Axiom  (3). Nehmen wir an, sie gilt für ein bestimmtes, aber beliebiges ${}z$. Wir müssen die Aussage für ${}z+1$ zeigen. Es ist also

${}x+(z+1)=y+(z+1)\,.$

Aufgrund von Axiom  (4) gilt daher

${}(x+z)+1=(y+z)+1\,$

und nach Axiom  (2) folgt

${}x+z=y+z\,.$

Die Induktionsvoraussetzung liefert

${}x=y\,.$

Für die Kürzungsregel siehe Aufgabe.

Zur bewiesenen Aussage