Peano-Halbring/Kürzungseigenschaften/Fakt/Beweis

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Beweis

Seien fixiert. Wir betrachten die Aussage, dass für alle die angegebene Eigenschaft gilt, also dass aus schon folgt. Diese Eigenschaft ist erststufig formulierbar. Sie gilt für nach Axiom  (3). Nehmen wir an, sie gilt für ein bestimmtes, aber beliebiges . Wir müssen die Aussage für zeigen. Es ist also

Aufgrund von Axiom  (4) gilt daher

und nach Axiom  (2) folgt

Die Induktionsvoraussetzung liefert

Für die Kürzungsregel siehe Aufgabe.