Peano-Halbring/Wohlordnungsprinzip/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten den Ausdruck

$\forall u{\left(\exists x{\left(\alpha \wedge x\leq u\right)}\rightarrow \exists y{\left(\alpha {\frac {y}{x}}\wedge \forall x{\left(\alpha \rightarrow x\geq y\right)}\right)}\right)}$

und wollen zeigen, dass er in jedem Peano-Halbring gilt. Dies zeigen wir unter Verwendung des Induktionsaxioms und fixieren einen Peano-Halbring ${}M$. Für ${}u=0$ ist die Aussage richtig, da dann, falls der Vordersatz ${}\exists x{\left(\alpha \wedge x\leq 0\right)}$ gilt, dann insbesondere ${}\alpha {\frac {0}{x}}$ in ${}M$ gilt und man im Nachsatz

${}y=0\,$

nehmen kann, da ja ${}0$ das kleinste Element ist. Zum Beweis des Induktionsschrittes müssen wir die Gültigkeit von

$\forall u{\left({\left(\exists x{\left(\alpha \wedge x\leq u\right)}\rightarrow \exists y{\left(\alpha {\frac {y}{x}}\wedge \forall x{\left(\alpha \rightarrow y\leq x\right)}\right)}\right)}\rightarrow {\left(\exists x{\left(\alpha \wedge x\leq u+1\right)}\rightarrow \exists y{\left(\alpha {\frac {y}{x}}\wedge \forall x{\left(\alpha \rightarrow x\geq y\right)}\right)}\right)}\right)}$

zeigen. Es sei also die Aussage für ein bestimmtes ${}u\in M$ (also der Vordersatz links) im Modell wahr. Wir müssen dann den Nachsatz, also die Aussage für ${}u+1$ als wahr erweisen. Es gelte also

$\exists x{\left(\alpha \wedge x\leq u+1\right)}.$

Wenn sogar ${}\exists x{\left(\alpha \wedge x\leq u\right)}$ gilt, so sind wir nach Induktionsvoraussetzung fertig. Es gelte diese Aussage also nicht. Das bedeutet einerseits, dass der Ausdruck ${}\alpha$ für kein Element aus ${}M$ gilt, das kleiner als oder gleich ${}u$ ist, und andererseits, dass ${}\alpha$ gilt, wenn ${}x$ durch ${}u+1$ interpretiert wird. Somit gilt der Ausdruck

$\alpha {\frac {u+1}{x}}\wedge \forall x{\left(\alpha \rightarrow x\geq u+1\right)}$

und damit

$\exists y{\left(\alpha {\frac {y}{x}}\wedge \forall x{\left(\alpha \rightarrow x\geq y\right)}\right)}.$

Zur gelösten Aufgabe