Periodische Funktion/Fourierkoeffizienten/Komplex und reell/Fakt/Beweis

Beweis

Unter Verwendung von Fakt  (1) ist

${}{\begin{aligned}c_{n}&={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}f(t)e^{-{\frac {2\pi {\mathrm {i} }}{T}}nt}dt\\&={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}f(t){\left(\cos \left(-{\frac {2\pi }{T}}nt\right)+{\mathrm {i} }\sin \left(-{\frac {2\pi }{T}}nt\right)\right)}dt\\&={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}f(t)\cos \left(-{\frac {2\pi }{T}}nt\right)dt+{\frac {\mathrm {i} }{T}}\int _{0}^{T}f(t)\sin \left(-{\frac {2\pi }{T}}nt\right)dt\\&={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}f(t)\cos \left({\frac {2\pi }{T}}nt\right)dt-{\frac {\mathrm {i} }{T}}\int _{0}^{T}f(t)\sin \left({\frac {2\pi }{T}}nt\right)dt.\end{aligned}}$

Bei ${}n\geq 0$ ist dies ${}{\frac {1}{2}}a_{n}+{\frac {1}{2}}{\mathrm {i} }b_{n}$, bei ${}n<0$ muss man zum Negativen übergehen und noch einmal Fakt  (3) verwenden.

Zur bewiesenen Aussage